Analiza matematyczna/Przykład szeregu 2

Obliczyć sumę szeregu potęgowego:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}x^{2n+1}$

Szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie, gdy jest jednostajnie zbieżny oraz zmienna $x$ jest w przedziale zbieżności.

Liniowego czynnika w liczniku ułamka pozbędziemy się całkując wyraz po wyrazie (mamy tu na myśli całkę oznaczoną od środka przedziału zbieżności do $x$ - zwróć uwagę, w którym miejscu pojawia się zmienna $x$, a w którym zmienna $t$):

$\int _{0}^{x}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}t^{2n+1}\,dt=$

Wyrażenie zależne wyłącznie od wskaźnika $n$ możemy wyłączyć przed znak całki:

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}\int _{0}^{x}t^{2n+1}\,dt=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}{\frac {x^{2n+2}}{2n+2}}=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(x^{2})^{n+1}}{3^{n}}}=$

$=3\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {x^{2}}{3}}\right)^{n+1}=$

Po przeindeksowaniu wyrazów nasz szereg otrzyma znaną postać szeregu geometrycznego

$=3\cdot \sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {x^{2}}{3}}\right)^{n}=...=$

którego suma jest równa:

$={\frac {x^{4}}{3-x^{2}}}$

Zatem ostatecznie dochodzimy do równania:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}x^{2n+1}=\left({\frac {x^{4}}{3-x^{2}}}\right)^{\prime }=$

${\frac {-2x^{5}+12x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}}$

Stąd szukana suma szeregu ma wartość:

$S(x)={\frac {-2x^{5}+12x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}}$