Analiza matematyczna/Przykład szeregu 4

Rozwiń funkcję $f(x)=x\cdot \arctan x$ w szereg potęgowy o środku w $x_{0}=0$.

Obliczymy pochodną funkcji $\arctan x$:

$(\arctan x)^{\prime }={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Jest to wzór na sumę pewnego szeregu geometrycznego:

${\frac {1}{1+x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x^{2})^{n}$

Mając taką postać szeregu, aby dojść do rozwinięcia funkcji wyjściowej należy scałkować ten szereg wyraz po wyrazie oraz pomnożyć otrzymany szereg przez $x$. Otrzymamy zatem:

$x\cdot \arctan x=x\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{x}t^{2n}\,dt=$

$=x\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=$

Co ostatecznie daje wynik:

$=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+2}}{2n+1}}$