Analiza matematyczna/Przykład szeregu 5

Rozwinąć w szereg potęgowy funkcje $f(x)={\frac {1}{1+x}}$ oraz $g(x)=\ln(x+1)$ w szereg potęgowy o środku w $x_{0}=0$.

Wzór funkcji $f$ przekształcimy do postaci sumy szeregu geometrycznego:

$f(x)={\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{1-(-x)}}=$

co rozwiniemy właśnie do tego szeregu geometrycznego otrzymując:

$=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}=$

$=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}$

Co jest szukanym rozwinięciem funkcji $f(x)$. Zauważymy również, że:

$g^{\prime }(x)={\frac {1}{x+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}$

Całkując wyraz po wyrazie powyższy szereg otrzymamy rozwinięcie funkcji $g(x)$:

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{x}t^{n}\,dt=$

$=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}$

Na zakończenie należy jedynie zwrócić uwagę, że powyższe rozwinięcia są prawdziwe dla $x\in (-1,1)$ ze względu na przedział zbieżności rozpatrywanego na początku szeregu geometrycznego.