Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Równania o zmiennych rozdzielonychEdytuj

PrzykładEdytuj

Rozwiąż równanie różniczkowe   przy warunku początkowym  .

 

 

 

 

Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku  . Otrzymujemy wówczas równanie:

 

 

 

Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:

 

Równania jednorodneEdytuj

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

 

Po zastosowaniu podstawienia   daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych   oraz  . Wówczas:

 

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:

 

PrzykładEdytuj

Równania linioweEdytuj

  (*)

  r. jednorodne

  r. niejednorodne

 

  zamiana

 

 

 

 

 

  wstawiamy do (*) to są (**)
  wstawiamy do(*)
 
  wstawiamy do (**)
 

Równania liniowe jednorodneEdytuj

Równania liniowe niejednorodneEdytuj

Równanie BernoullegoEdytuj

Ogólna postać równania Bernoullego to:

 

gdzie  , natomiast   oraz   – to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez   otrzymujemy równanie postaci:

 

Po zastosowaniu podstawienia   otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.

przykładEdytuj

 

 

 

 

Równanie dzielimy obustronnie przez  

 , gdzie  

oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej  :

 

 

Skojarzone równanie jednorodne ma postać:

 

Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:

 

Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

 , gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:

 

Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:

 

W wyniku tej operacji   powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:

 

Ponieważ szukamy rozwiązania szczególnego,
za stałą tego całkowania przyjmujemy  .

 

Zatem

 

 

 

Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:

 

Funkcja tożsamościowa   nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.

Równanie zupełneEdytuj

 

Czynnik całkującyEdytuj

Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:

 

Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:

 

Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:

 

 

 

 

Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:

 

Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.

 

Równania wyższych rzędówEdytuj

Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzęduEdytuj

Równania postaci   możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.

Jawnie nie występuje zmienna zależna yEdytuj

 

 

 

Rozpatrzmy przykładowe równanie  . Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci   . Zmienna zależna   została zastąpiona zmienną zależną  . Rola zmiennej niezależnej   nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:

 

Szukamy zatem rodziny funkcji   zależnej od jednej stałej całkowania  , a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji   zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania   oraz  .

jawnie nie występuje zmienna niezależna xEdytuj

 

 

 

 

W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna  . Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:

 

PrzykładEdytuj

 

Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:

 

 

 

  Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji  . Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.

c.d.n.

Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikachEdytuj

Metoda uzmienniania stałych na przykładzieEdytuj

 

Najpierw rozwiązujemy jednorodne:

 

Konstruujemy wielomian charakterystyczny

 

Stąd mamy rozwiązanie w postaci:

 

Teraz uzmienniamy stałe

 

Następnie tworzymy układ :

 

Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia   i