Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Równania o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Rozwiąż równanie różniczkowe $y'=e^{x+y}$ przy warunku początkowym $y(0)=0$.

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}\cdot e^{y}$

$e^{-y}dy=e^{x}dx$

$\int e^{-y}dy=\int e^{x}dx$

$-e^{-y}=e^{x}+C$

Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku $y(x=0)=0$. Otrzymujemy wówczas równanie:

$-e^{0}=e^{0}+C$

$-1=1+C$

$C=-2$

Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:

$-e^{-y}=e^{x}-2$

$e^{-y}=2-e^{x}$

${\frac {1}{e^{y}}}=2-e^{x}$

$e^{y}={\frac {1}{2-e^{x}}}$

Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:

$y=\ln {\frac {1}{2-e^{x}}}$

Równania jednorodne

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

$y'=f\left({\frac {y}{x}}\right)$

Po zastosowaniu podstawienia $u={\frac {y}{x}}$ daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych $x$ oraz $u$. Wówczas:

$y=u(x)\cdot x$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:

$y'=u'x+u$

Równania liniowe

$y'+P(x)y=Q(x)$ (*)

$Q(x)=0$ r. jednorodne

$Q(x)\neq 0$ r. niejednorodne

$y'+P(x)y=0\quad y\neq 0$

$y'=dy$ zamiana

$dy=-P(x)ydx\quad /:y$

$dy/y=-P(x)dx$

$\ln |y|=-\int P(x)+C1$

$\ln |y|=-\int P(x)+\ln |C2|C2=C$

$\ln |y|=\ln \left|C2/\int P(x)\right|$

$y=C(x)/-\int P(x)$ wstawiamy do (*) to są (**)
$y'=$ wstawiamy do(*)
$C'(x)=$
$C(x)=\int C'(x)$ wstawiamy do (**)
$Y=C(x)/-\int P(x)$

Równanie Bernoullego

Ogólna postać równania Bernoullego to:

$y'+p(x)\cdot y=q(x)\cdot y^{r}$

gdzie $r\in \mathbb {R}$, natomiast $p(x)$ oraz $q(x)$ – to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez $y^{r}$ otrzymujemy równanie postaci:

${\frac {y'}{y^{r}}}+p(x)\cdot y^{1-r}=q(x)$

Po zastosowaniu podstawienia $z=y^{1-r}$ otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.

przykład

$z=y^{-2}$

$z'=-2y^{-3}y'$

${\frac {y'}{y^{3}}}=-{\frac {1}{2}}z'$

$y'+xy=xy^{3}$

Równanie dzielimy obustronnie przez $y^{3}$

${\frac {y'}{y^{3}}}+xy^{-2}=x$, gdzie $y\neq 0$

oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej $z(y(x))$:

$-{\frac {1}{2}}z'+xz=x$

$z'-2xz=-2x$

Skojarzone równanie jednorodne ma postać:

$z'-2xz=0$

Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:

$z_{oj}=Ce^{x^{2}}$

Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

$z_{sn}=C(x)e^{x^{2}}$, gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:

$z'_{sn}=C'(x)e^{x^{2}}+C(x)e^{x^{2}}2x$

Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:

$C'(x)e^{x^{2}}+C(x)e^{x^{2}}2x-2xC(x)e^{x^{2}}=-2x$

W wyniku tej operacji $C(x)$ powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:

$C'(x)e^{x^{2}}=-2x$

Ponieważ szukamy rozwiązania szczególnego,
za stałą tego całkowania przyjmujemy $D=0$.

$C(x)=e^{-x^{2}}$

Zatem

$z_{sn}=e^{-x^{2}}\cdot e^{x^{2}}=1$

$z_{on}=z_{oj}+z_{sn}$

$z_{on}=Ce^{x^{2}}+1$

Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:

${\frac {1}{y^{2}}}=Ce^{x^{2}}+1$

Funkcja tożsamościowa $y\equiv 0$ nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.

Równanie zupełne

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

Czynnik całkujący

Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:

$P(x,y)\mu (x)dx+Q(x,y)\mu (x)dy=0$

Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:

${\frac {\partial P\mu (x)}{\partial y}}={\frac {\partial Q\mu (x)}{\partial x}}$

Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:

$\mu (x){\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu (x)+Q\mu '(x)$

$\mu (x){\frac {\partial P}{\partial y}}-\mu (x){\frac {\partial Q}{\partial x}}=\mu '(x)Q$

$\mu (x)\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)=\mu '(x)Q$

${\frac {\mu '(x)}{\mu (x)}}={\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q}}$

Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:

$\ln |\mu (x)|=\int {\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q}}dx$

Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.

$\ln |\mu (y)|=\int {\frac {{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}}{P}}dy$

Równania wyższych rzędów

Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu

Równania postaci $y''=f(x,y,y')$ możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.

Jawnie nie występuje zmienna zależna y

$F(x,y',y'')=0$

$y'=u(x)$

$y''=u'(x)$

Rozpatrzmy przykładowe równanie $y''=x(y')^{2}$. Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci $u'=xu^{2}$ . Zmienna zależna $y(x)$ została zastąpiona zmienną zależną $u(x)$. Rola zmiennej niezależnej $x$ nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:

${\overline {F}}(x,u,u')=0$

Szukamy zatem rodziny funkcji $u(x)$ zależnej od jednej stałej całkowania $C$, a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji $y(x)$ zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania $C$ oraz $D$.

jawnie nie występuje zmienna niezależna x

$F(y,y',y'')=0$

$y'=u(y)$

$y''=u'(y)\cdot y'$

$y''=u'(y)\cdot u(y)$

W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna $u(y)$. Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:

${\overline {F}}(y,u,u')=0$

Przykład

$y\cdot y''=y^{3}+(y')^{2}$

Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:

$yu\cdot u'=y^{3}+u^{2}$

$z=u^{1-(-1)}=u^{2}$

$z'=2u\cdot u'$

$u'=y^{2}u^{-1}+{\frac {1}{y}}u$ Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji $u(y)$. Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.

c.d.n.

Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach

Metoda uzmienniania stałych na przykładzie

$y''(x)-y(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}$

Najpierw rozwiązujemy jednorodne:

$y''(x)-y(x)=0$

Konstruujemy wielomian charakterystyczny

$\lambda ^{2}-1=0$

Stąd mamy rozwiązanie w postaci:

$y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}$

Teraz uzmienniamy stałe

$y=c_{1}(x)e^{x}+c_{2}(x)e^{-x}$

Następnie tworzymy układ :

${\begin{cases}c_{1}'(x)e^{x}+c_{2}'(x)e^{-x}=0\\c_{1}'(x)e^{x}-c_{2}'(x)e^{-x}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}\\\end{cases}}$

Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia $c_{1}$ i $c_{2}$