Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Równania o zmiennych rozdzielonych edytuj

Przykład edytuj

Rozwiąż równanie różniczkowe   przy warunku początkowym  .

 

 

 

 

Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku  . Otrzymujemy wówczas równanie:

 

 

 

Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:

 

Równania jednorodne edytuj

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

 

Po zastosowaniu podstawienia   daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych   oraz  . Wówczas:

 

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:

 

Przykład edytuj

Równania liniowe edytuj

  (*)

  r. jednorodne

  r. niejednorodne

 

  zamiana

 

 

 

 

 

  wstawiamy do (*) to są (**)
  wstawiamy do(*)
 
  wstawiamy do (**)
 

Równania liniowe jednorodne edytuj

Równania liniowe niejednorodne edytuj

Równanie Bernoullego edytuj

Ogólna postać równania Bernoullego to:

 

gdzie  , natomiast   oraz   – to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez   otrzymujemy równanie postaci:

 

Po zastosowaniu podstawienia   otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.

przykład edytuj

 

 

 

 

Równanie dzielimy obustronnie przez  

 , gdzie  

oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej  :

 

 

Skojarzone równanie jednorodne ma postać:

 

Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:

 

Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

 , gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:

 

Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:

 

W wyniku tej operacji   powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:

 

Ponieważ szukamy rozwiązania szczególnego,
za stałą tego całkowania przyjmujemy  .

 

Zatem

 

 

 

Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:

 

Funkcja tożsamościowa   nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.

Równanie zupełne edytuj

 

Czynnik całkujący edytuj

Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:

 

Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:

 

Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:

 

 

 

 

Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:

 

Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.

 

Równania wyższych rzędów edytuj

Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu edytuj

Równania postaci   możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.

Jawnie nie występuje zmienna zależna y edytuj

 

 

 

Rozpatrzmy przykładowe równanie  . Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci   . Zmienna zależna   została zastąpiona zmienną zależną  . Rola zmiennej niezależnej   nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:

 

Szukamy zatem rodziny funkcji   zależnej od jednej stałej całkowania  , a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji   zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania   oraz  .

jawnie nie występuje zmienna niezależna x edytuj

 

 

 

 

W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna  . Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:

 

Przykład edytuj

 

Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:

 

 

 

  Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji  . Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.

c.d.n.

Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach edytuj

Metoda uzmienniania stałych na przykładzie edytuj

 

Najpierw rozwiązujemy jednorodne:

 

Konstruujemy wielomian charakterystyczny

 

Stąd mamy rozwiązanie w postaci:

 

Teraz uzmienniamy stałe

 

Następnie tworzymy układ :

 

Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia   i