Analiza matematyczna/Równania różniczkowe
Równania o zmiennych rozdzielonych edytuj
Przykład edytuj
Rozwiąż równanie różniczkowe przy warunku początkowym .
Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku . Otrzymujemy wówczas równanie:
Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:
Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:
Równania jednorodne edytuj
Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:
Po zastosowaniu podstawienia daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych oraz . Wówczas:
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:
Przykład edytuj
Równania liniowe edytuj
(*)
r. jednorodne
r. niejednorodne
zamiana
wstawiamy do (*) to są (**)
wstawiamy do(*)
wstawiamy do (**)
Równania liniowe jednorodne edytuj
Równania liniowe niejednorodne edytuj
Równanie Bernoullego edytuj
Ogólna postać równania Bernoullego to:
gdzie , natomiast oraz – to dowolne funkcje rzeczywiste.
Po obustronnym podzieleniu równania przez otrzymujemy równanie postaci:
Po zastosowaniu podstawienia otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.
przykład edytuj
Równanie dzielimy obustronnie przez
, gdzie
Uwaga!
Do warunku na niezerową funkcję należy powrócić na samym końcu zadania, by sprawdzić, czy funkcja tożsamościowa nie jest także jednym z rozwiązań równania, nieuwzględnionym w rozwiązaniu ogólnym lub szczególnym. |
oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej :
Skojarzone równanie jednorodne ma postać:
Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:
Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
, gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:
Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:
W wyniku tej operacji powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:
Ponieważ szukamy rozwiązania szczególnego,
za stałą tego całkowania przyjmujemy .
Zatem
Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:
Funkcja tożsamościowa nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.
Równanie zupełne edytuj
Czynnik całkujący edytuj
Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:
Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:
Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:
Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:
Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.
Równania wyższych rzędów edytuj
Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu edytuj
Równania postaci możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.
Jawnie nie występuje zmienna zależna y edytuj
Rozpatrzmy przykładowe równanie . Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci . Zmienna zależna została zastąpiona zmienną zależną . Rola zmiennej niezależnej nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:
Szukamy zatem rodziny funkcji zależnej od jednej stałej całkowania , a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania oraz .
jawnie nie występuje zmienna niezależna x edytuj
W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna . Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:
Przykład edytuj
Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:
Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji . Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.
c.d.n.
Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach edytuj
Metoda uzmienniania stałych na przykładzie edytuj
Najpierw rozwiązujemy jednorodne:
Konstruujemy wielomian charakterystyczny
Stąd mamy rozwiązanie w postaci:
Teraz uzmienniamy stałe
Następnie tworzymy układ :
Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia i