Analiza matematyczna/Szeregi liczbowe

Szeregi

WstępEdytuj

Szereg to wyraz będący sumą kolejnych wyrazów nieskończonego ciągu. W szeregach jednymi z najbardziej istotnych spraw są ich zbieżność i granice.

Zapis szereguEdytuj

Szeregi nie mają swojego własnego oznaczenia zapisuje się je za pomocą sumy nieskończonej i przepisu ogólnego (jak w ciągach) co zapisuje sie jako

 

np.  

Czasem można spotkać zapis   Jednakże jest on używany wyłącznie gdy rozpisujemy kilka ciągów naraz w celu skrócenia zapisu.

Suma szereguEdytuj

Mogło by się wydawać, że skoro dodajemy do siebie nieskończoną ilość liczb (często wszystkie z nich są dodatnie) to ich suma powinna być również nieskończona. Jednakże matematycy nie takie przekręty potrafią robić. Musimy zauważyć, że jeżeli szereg jest zbieżny, to dodajemy coraz mniejsze wyrazy, które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się nie zwiększa. Możemy też zaobserwować, że kolejne sumy są bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się sumą szeregu.

np.   jest równa 1 gdyż:

 

Graficzne przedstawienie szereguEdytuj

Jak widzimy szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca zawsze zostanie pewien bardzo mały kawałek.

Zbieżność szereguEdytuj

Czasem obliczenie sumy nie jest nam potrzebne (czasem jest to bardzo trudne). Czasem wystarcza określić czy szereg jest zbieżny (wtedy istnieje suma szeregu) lub szereg jest rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz mocnej w sposób nieograniczony. Kryteria zbieżności szeregu

Warunek konieczny zbieżnościEdytuj

Jeżeli szereg ∑an jest zbieżny, to limn→∞ an = 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.

Warunek Cauchy'ego zbieżnościEdytuj

Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego:

Szereg liczbowy ∑an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:   Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych ciągu (an) jest ciągiem Cauchy'ego.

Zbieżność bezwzględnaEdytuj

Szereg ∑an nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|an|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Przykład mamy szereg anharmoniczny

 

Wiemy że szereg ten jest zbieżny a jego suma wynosi  

Jednakże możemy poukładać wyrazy tak by najpierw wyszła nam jakaś duża liczba np. 50 a potem odpowiednio składać wyrazy dodatnie i ujemne (których nam nie zabraknie) i będziemy mieć sume szeregu 50.

Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑an.

Kryterium d'AlembertaEdytuj

Jeżeli granica ciągu |an+1|/|an| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑an jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla rozbieżności szeregu wystarczy zresztą, by istniała taka liczba N, że nierówność |an+1|/|an|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.

Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: jeżeli granica górna ciągu |an+1|/|an| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑an jest zbieżny.

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.

  szereg ∑an jest zbieżny

  szereg ∑an jest rozbieżny

  kryterium nie rozstrzyga

Kryterium RaabegoEdytuj

Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:

  szereg ∑an jest zbieżny

  szereg ∑an jest rozbieżny

  kryterium nie rozstrzyga

Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 - inaczej niż w przypadku kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego.

Kryterium Cauchy'egoEdytuj

Jeżeli w:granica ciągu   istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑an jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu   jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.

Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.

Kryterium całkoweEdytuj

Szereg o wyrazie ogólnym   jest zbieżny, jeżeli   jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa   jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym   jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja   w przedziale   była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

Kryterium porównawczeEdytuj

Jeżeli wyrazy szeregu ∑an spełniają od pewnego N nierówność |an| ≤ bn i szereg ∑bn jest zbieżny, to również szereg ∑an jest zbieżny (i to - oczywiście - bezwzględnie).

Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑an spełniają od pewnego N nierówność anbn ≥ 0 i szereg ∑bn jest rozbieżny, to również szereg ∑an jest rozbieżny.

Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub (rzadziej) geometrycznym.

Kryterium zagęszczaniaEdytuj

Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy'ego. Załóżmy, że szereg ∑an jest taki, że ciąg |an| jest monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑pn·|apn|, to zbieżny jest szereg ∑an.

Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)Edytuj

Jeżeli mamy szeregi ∑an, ∑bn i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < limn→∞ (an/bn) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.

Ponadto:

Jeżeli limn→∞ (an/bn) = 0 i ∑bn jest zbieżny, to ∑an jest zbieżny.

Jeżeli limn→∞ (an/bn) = ∞ i ∑an jest zbieżny, to ∑bn jest zbieżny.