Analiza matematyczna/pochodne

Wiele pojęć fizycznych wyraża tempo zmiany innej wielkości w czasie: prędkość chwilowa to tempo zmiany położenia, a przyspieszenie - tempo zmiany prędkości. Więcej przykładów podano poniżej: $v={\frac {\Delta x}{\Delta t}},a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},F={\frac {\Delta p}{\Delta t}},I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}},$

We wszystkich podanych przykładach mamy do czynienia z dwiema funkcjami: jedna wyraża pewną wielkość, a druga - tempo zmiany tej poprzedniej. Właśnie tę drugą funkcję nazywamy funkcją pochodną, a pierwszą czasem nazywa się funkcją pierwotną, przy czym pojęcia te zostaną ściśle omówione później. Kilka intuicyjnych przykładów:

• pochodna funkcji stałej to funkcja zerowa - funkcja nie rośnie ani nie maleje, dlatego tempo jej zmiany wynosi zero
• pochodna funkcji liniowej jest funkcją stałą
• pochodna funkcji logarytmicznej musi w nieskończoności dążyć do zera - logarytm "zwalnia", a tempo zmiany funkcji jest coraz mniejsze.
• pochodna funkcji tangens musi przyjmować tylko dodatnie wartości, bo tangens jest funkcją rosnącą
• pochodna funkcji y=(x-1)^2 dla x<1 musi być ujemna, jako że funkcja jest tam malejąca. Dla x=1 pochodna wynosi 0, bo parabola "wyhamowuje", funkcja stopniowo przestaje maleć, a zaczyna rosnąć.

Znajdowanie funkcji pochodnej nazywa się różniczkowaniem, dlatego analiza bywa niekiedy nazywana po prostu rachunkiem różniczkowym i całkowym. Takie intuicyjne rozumienie pojęcia pochodnej wystarczyło Newtonowi do zrewolucjonizowania fizyki - wyjaśniało m.in. poprzednie odkrycia Keplera i Galileusza. Ten przełom zmienił wręcz znaczenie wyrazu "fizyka" - pierwotnie oznaczał ogół ludzkiej wiedzy na temat świata naturalnego (gr. he physis - natura) i był synonimem historii naturalnej czy filozofii przyrody. Trzeba przy tym zaznaczyć, że sam Newton w swoich dziełach nie korzystał jeszcze z pojęcia funkcji, granicy czy pochodnej i na wykrystalizowanie się pojęć potrzeba było setek lat.

W dalszej części kursu poznasz pochodne najbardziej znanych funkcji, a także ogólne metody znajdowania pochodnych i pierwotnych. Podane kilka sekcji dalej twierdzenie Newtona-Leibniza dodatkowo pokaże, że pojęcie pochodnej może być wykorzystane do całkowania i odwrotnie - kiedy nie da się znaleźć wzoru na funkcję pierwotną, jej konkretne wartości można obliczać za pomocą przybliżonego całkowania.