Analiza rzeczywista

Analiza rzeczywista jest podstawowym działem analizy matematycznej i rozwinięciem rachunku różniczkowo-całkowego. Niniejszy kurs aspiruje do bycia wyczerpującym i encyklopedycznym, dlatego jest kierowany przede wszystkim do matematyków – przedstawiciele innych dziedzin nie potrzebują wielu zawartych tu informacji.

Piła Weierstrassa z parametrami $a=0,5;$ $b=3$ w przedziale $[-0{,}2,1{,}2].$

Wstęp

1. Liczby rzeczywiste
2. Zbiory otwarte i domknięte
3. Funkcje rzeczywiste

Ciągi liczbowe

1. Granica ciągu
2. Twierdzenie Stolza
3. Klasy asymptotyczne
4. Lemat Bolzana–Weierstrassa
5. Szeregi
6. Iloczyny nieskończone
7. Ułamki łańcuchowe

Granica i ciągłość funkcji

1. Definicja Cauchy'ego
2. Definicja Heinego
3. Definicja topologiczna
4. Asymptoty
5. Rodzaje nieciągłości
6. Własność Darboux
7. Twierdzenie Weierstrassa
8. Ciągłość jednostajna
9. Ciągłość Lipschitza
10. Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Pochodna funkcji

1. Definicja i własności
2. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego
3. Reguła de L'Hospitala
4. Wzór Taylora
5. Punkty stacjonarne i ekstrema
6. Punkty przegięcia
7. Nierówność Jensena
8. Funkcje analityczne
9. Metoda numeryczna Newtona

Całkowanie

1. Funkcja pierwotna
2. Całkowanie przez podstawianie i przez części
3. Twierdzenie Ostrogradskiego
4. Podstawienia Eulera
5. Podstawienie Weierstrassa
6. Całka Riemanna
7. Twierdzenie Newtona–Leibniza
8. Twierdzenia Pappusa–Guldina
9. Całkowanie numeryczne
10. Całki niewłaściwe
11. Funkcje specjalne

Dodatek

1. Twierdzenie Szarkowskiego
2. Twierdzenie Rademachera
3. Algorytm Rischa
4. Ciągi funkcyjne
5. Równania różniczkowe zwyczajne

Literatura

Książki z serii „Biblioteka Matematyczna” Państwowego Wydawnictwa Naukowego, później częściowo wznawiane przez Wydawnictwo Naukowe PWN:

1. Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, 1954, 1959, 1963, 1965, 1967, 1971.
   • 2008: XVII wydanie, ​ISBN 978-83-0115479-0​.
2. Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, 1973, 1977.
   • 2008: XI wydanie, ​ISBN 978-83-0115630-5​.
3. Roman Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje wielu zmiennych, 1972.
4. Witold Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, 1970.
5. Krzysztof Maurin, Analiza, cz. 1. Elementy, 1971.
6. Tenże, Analiza, cz. 2. Wstęp do analizy globalnej, 1971.
7. Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, 1976.

Inne książki tego wydawnictwa:

1. Stefan Banach, Rachunek różniczkowy i całkowy, 1957.
2. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, 2006 – dwa tomy.
3. Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, 2012.
4. Walerian Dubnicki, Jacek Kłopotowski, Tomasz Szapiro, Analiza matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów, 2022.
5. Andrzej Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, 2002.
6. Wiesława Kaczor, Maria Nowak, Zadania z analizy matematycznej, 2005 – trzy tomy.
7. Józef Banaś, Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, 2020.
8. Wiesława Korczak, Marianna Trajdos, Wektory, pochodne, całki, 2009.
9. Robert Kowalczyk, Kamil Niedziałomski, Cezary Obczyński, Granice i pochodne. Metody rozwiązywania zadań, 2013.
10. Ciż, Całki. Metody rozwiązywania zadań, 2012.
11. Jerzy Ginter, Nie bój się pochodnej, 2022.
12. Grzegorz Decewicz, Wojciech Żakowski, Matematyka, Część 1. Analiza matematyczna, 2003.
13. Witold Kołodziej, Wojciech Żakowski, Matematyka, Część 2. Analiza matematyczna, 2023.
14. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, 1999.
15. Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej, 1998.
16. Tenże, Analiza rzeczywista i zespolona, 2009.
17. James Stewart, Calculus. Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, 2020.

Książki innych wydawnictw:

1. Michał Krych, Analiza matematyczna dla ekonomistów, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010.
2. Antoni Smoluk, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017.
3. Andrzej Sołtysiak, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2010 – dwa tomy.
4. Julian Musielak, Helena Musielak, Magdalena Jaroszewska, Leszek Skrzypczak, 'Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, 2011 – trzy tomy.
5. Krystyna Pruska, Dorota Pekasiewicz, Analiza matematyczna dla ekonomicznych kierunków studiów, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2012.
6. Joanna Niewiadoma, Jan Szynal, 15 wykładów i 150 zadań z analizy matematycznej, UMCS, 2023.
7. Patryk Miziuła, Robert Skiba, Zbiór zadań z analizy i algebry, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2021.
8. Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematematycznej, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2014.
9. Lech Górniewicz, Roman Stanisław Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012.
10. Krzysztof Kłaczkow, Marcin Kurczab, Elżbieta Świda, Analiza matematyczna dla licealistów i studentów. Repetytorium, Pazdro, 2019.
11. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna, GiS 2013 – sześć książeczek, po trzy na semestr.
12. Michał Kremzer, Wstęp do analizy matematycznej, algebry i równań różniczkowych. Zadania dla studentów i kandydatów na studia, Helion, 2022.
13. Tomasz Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, Fosze 2010 – trzy tomy.
14. Adam Kleiner, Pochodne bez granic, Zamkor, 2014.
15. Wiesława Regel, 123 zadania z rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, Bila, 2014.