Astrofizyka/Kwantowy oscylator harmoniczny

Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem . Ponieważ siła F= - ∂U/∂x, to układ opisany jest przez potencjał:

Jego energia całkowita jest równa:

gdzie pęd p=mv. W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator: p=mv⇒p= - iℏ spełniający regułę komutacyjną [x,p]=iℏ. Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

nazywane operatorami anihilacji i kreacji, stąd operator położenia x to

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

Bozonowy oscylator harmonicznyEdytuj

Hamiltonian, czyli operator energii, przyjmuje teraz postać

 

Operatory  ={I,a,  ,n= } rozpinają algebrę Heisenberga: [a,  ]=1, [a,a]=[  , ]=0, [n,a]= - a, [n,  ]= , [I,Xi]=0. Komutator zdefiniowany jest jako [A,B]=A B - B A a antykomutator {A,B}=A B + B A. Hamiltoniam można przekształcić do postaci:

 

gdzie   jest energią stanu podstawowego. Hamiltoniam posiada całą drabinkę stanów własnych H|n> = |n> z energiami własnymi:

 

i stanami własnymi:

 

Stan podstawowy |0> zdefiniowany jest jako a|0> =0. W tradycyjnym zapisie stan |n> opisuje funkcję falową  . Równanie a|0>=0 (lub  ) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

 

gdzie  . Operatory kreacji   tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa – creare (łac.) to tworzyć). Można je wyrazić przez wielomian|wielomiany Hermite'a:

 

gdzie

 

Fermionowy oscylator harmonicznyEdytuj

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem:

 

Operatory  ={I,c,  ,n= } rozpinają algebrę gradowaną: {c,  }=1, {c,c}={  ,  }=0, [n,c]= - c, [n,  ]= , [I, ]=0. Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

 

gdzie  = -  ℏω jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna { }=0 oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni |0>, pierwszy stan wzbudzony |1>= |0>, drugi stan wzbudzony już nie istnieje: |2>= , bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż  . Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego |0> i stanu wzbudzonego |1>. Posiada tylko dwie wartości własne  = -  ℏω i  =  ℏω.

SupersymetriaEdytuj

Bozonowy i ferminowy hamiltonian razem posiada dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi – nazywamy ją supersymetrią,

 

Generowana jest przez operatory:  ,  , spełniają one relację:

 

Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetycznej teorii pola.