Astrofizyka/Wielki rozkład kanoniczny

Mechanika statystyczna (lub fizyka statystyczna) to gałąź fizyki zajmująca się układami wielu oddziałujących ciał. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest termodynamika fenomenologiczna.

Z mechaniki statystycznej można wydzielić teorię stanów równowagi termodynamicznej. Ta teoria jest daleko bardziej rozwinięta niż teoria nierównowagowa. Powszechnie używa się tu tzw. formalizmu sumy statystycznej.

Entropia mikroskopowa, czynnik Boltzmanna i suma statystycznaEdytuj

Podstawą mechaniki statystycznej (fizyki statystycznej) jest definicja entropii pochodząca od Ludwiga Boltzmanna:

Entropia mikroskopowa układu jest proporcjonalna do logarytmu liczby mikroskopowych stanów układu.

Współczynnik proporcjonalności oznaczany przez k nazywany jest stałą Boltzmanna. Z tej definicji wynika, że gdy układ w stanie mikroskopowym o energii E jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T (β=1/kT), to prawdopodobieństwo tego stanu jest proporcjonalne do:

 

tę wielkość nazywamy czynnikiem Bolzmanna. Te wszystkie prawdopodobieństwa dla różnych stanów mikroskopowych muszą dać jedność. Definiuje to sumę statystyczną:

 

gdzie   jest energią i-tego stanu mikroskopowego. Suma statystyczna jest miarą liczby stanów dostępnych dla układu fizycznego. Prawdopodobieństwo znalezienia się układu w poszczególnym stanie (i) w temperaturze T z energią Ei jest równe:

 

Związki z termodynamikąEdytuj

Suma statystyczna może posłużyć do wyliczenia wartości oczekiwanej (średniej) dowolnej mikroskopowej wielkości. Tak dla przykładu średnia mikroskopowa energia E jest interpretowana jako energia wewnętrzna (U) z termodynamiki. Tak więc,

 

wraz z interpretacją <E> jako U, daje następującą definicję energii wewnętrznej:

 

Entropię określamy z wzoru (entropia)

 

który daje

 

gdzie F jest energią swobodną układu fizycznego, stąd

 

Mając zdefiniowane podstawowe potencjały termodynamiczne U (energia wewnętrzna), S (entropia) i F (energia swobodna), można otrzymać wszystkie wielkości termodynamiczne opisujące układ fizyczny.

Zmienna liczba cząstekEdytuj

W przypadku gdy liczba cząstek nie jest zachowana, należy wprowadzić potencjał chemiczny, μj, j=1,...,n i zamienić sumę statystyczną na:

 

gdzie Nij jest liczbą cząstek rodzaju jth w i-tym stanie mikroskopowym.

energia swobodna Helmholtza:  
energia wewnętrzna:  
ciśnienie:  
entropia:  
energia swobodna Gibbsa:  
entalpia:  
ciepło właściwe (stała objętość):  
ciepło właściwe (stałe ciśnienie):  
potencjał chemiczny:  

To samo z użyciem wielkiego zespołu kanonicznego:

 
 
energia swobodna Gibbsa:  
energia wewnętrzna:  
liczba cząstek:  
entropia:  
energia wewnętrzna Helmholtza: