Astrofizyka/Kwantowy rozkład kanoniczny

Średnią kwantową (stan kwantowy) operatora A definiujemy jako

<A>=Tr(ρA)

gdzie stan układu fizycznego opisuje operator gęstości spełniający warunek

Tr(ρ)=1.

Entropię definiujemy jako

S= - kT Tr(ρln(ρ))

Gdy entropia S=0 stan kwantowy nazywamy stanem czystym, a gdy S≠0 stanem mieszanym. Kombinacja liniowa operatorów rzutowych Pn=|n><n|

z warunkiem

realizuje stan mieszany o entropii

Gdy stan określony jest więc przez pojedynczy operator rzutowy (n=n0, |n0>=|ψ>) Pψ=|ψ><ψ|, to jest to stan czysty (S=0) i

<A>=Tr(ρψA)=<ψ|A|ψ>

Ogólnie operator rzutowy powinien być funkcją niezmienników (energii H, liczby cząstek N).

Rozkład Gibbsa jest tak zdefiniowany, by entropia dwóch podukładów była liczbą addytywną

a jest sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Suma statystyczna definiuje energię swobodną Hermloltza

W przypadku gdy w układzie zachowana jest liczba cząstek (<N>), dodajemy warunek dodatkowy, który oznacza zamianę w rozkładzie:

H→H - μ(N - <N>)

gdzie formalnie μ jest czynnikiem Lagrange'a. Rozkład (wielki rozkład kanoniczny) jest teraz w pełni określony przez:

a jest wielką sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Średnia liczba cząstek:

Suma statystyczna definiuje nowy potencjał termodynamiczny:

Jest prosty związek z energią swobodną

F=μ<N> + Ω

Stąd potencjał chemiczny to

Ciśnienie definiujemy jako:

a entropię jako:

S= - k Tr(ρlnρ).

Energia wewnętrzna:

U=εV=<H>.

Stąd mamy związek termodynamiczny:

T s=P + ε

Zmiana ciśnienia z gęstością energii wyznacza prędkość propagacji fali dźwiękowej:

a zmiana z gęstością cząstek współczynnik ściśliwości:

określający prędkość dźwięku.