Astrofizyka/Mechanika relatywistyczna

Ruch w czasprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria $x^{\mu }(\tau ),$ gdzie τ jest parametrem niezmienniczym (nie czasem). Np. można zdefiniowć c dτ= ds gdzie s jest interwałem czasoprzestrzennym , τ nazywamy czasem własnym.

$d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni 3 wymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości:

$u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}=\{{\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {dx^{i}}{dt}}\}$

i czterowektor pędu

$p^{\mu }=mu^{\mu }.$

Wektor pędu (μ=i={1,2,3}) w fizyce relatywistycznej ma postać

$p^{i}=mu^{i}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {dx^{i}}{dt}}=m(v){\frac {dx^{i}}{dt}}$

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę retatywistyczną

$m(v)={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$

Wielkości te nie są niezależne

$u^{\mu }u_{\mu }=g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=c^{2}$

i podobnie

$p^{\mu }p_{\mu }=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=m^{2}c^{2}$

Stąd otrzymujemy związek

$p_{0}={\frac {E_{p}}{c}}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}}$

Równanie ruchu cząstki swobodnej wynika z ekstremum całki działania (funkcjonału):

$S[x(s)]=mc\int ds=mc\int d\tau {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}=\int d\tau L$

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii ( linia geodezyjnej). L można interpretować jako funkcję Lagrange'a

$L(u(\tau ),x(\tau ))=mc{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}=mc{\sqrt {g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}}$

Równania Eulera-Lagranga

${\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial u^{\mu }}}={\frac {\partial L}{\partial x^{\mu }}}$

można uważać, za uogólnienie równania Newtona

${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=F_{\mu }$

z pędem uogólnionym

$p_{\mu }={\frac {\partial L}{\partial u^{\mu }}}=mu_{\mu }$

i siłą uogólnioną

$F_{\mu }={\frac {\partial L}{\partial x^{\mu }}}$

Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z:

$g_{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)$

równanie linii geodezyjnej daje równanie prostej:

${\frac {du^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\tau ^{2}}}=0$