Astrofizyka/Kosmologia Newtonowska

Wyobraźmy sobie dowolne dwie galaktyki oddalone w chwili obecnej $t_{0}$ o odległość $dl_{0}$. Jeżeli Wszechświat jest dynamiczny i rozszerza się, to ich odległość w chwili t będzie równa:

$dl=a(t)dl_{0}$

a(t) nazywamy czynnikiem skali. Wygodnie jest tak wybrać parametryzacje, by w chwili obecnej $t_{0}$ czynnik skali $a(t_{0})=1$.

Obserwator na jednej z galaktyk będzie widział pozorny ruch z prędkością

$v={\frac {dl}{dt}}={\frac {da(t)}{dt}}dl_{0}={\dot {a}}dl_{0}={\frac {\dot {a}}{a}}dl=Hdl$

Jest to słynna zależność Hubble'a, a H jest stałą Hubble'a:

$H={\frac {\dot {a}}{a}}={\frac {1}{t_{H}}}$

$t_{H}$ nazywamy wiekiem Hubble'a. W chwili obecnej stała Hubble'a może być wyrażona przez bezwymiarową wielkość h:

$H_{0}=H(t_{0})=100h{\frac {km}{s}}{\frac {1}{Mpc}}$

czas Hubble'a:

$t_{H}=H_{0}^{-1}=9.773h^{-1}Gyr$

Przez lata pomiary h dawały 0.4<h<1.0. Obecne pomiary dają

$h=0.7$

U podstaw kosmologii leży zasada kosmologiczna. Wyobraźmy sobie dowolną galaktykę o masie m umieszczoną na powierzchni kuli o dowolnym promieniu l umieszczonej w dowolnym punkcie O. Całkowita energia tej galaktyki jest równa:

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}+U(l)={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{l}}$

M jest masą zawartą w kuli o promieniu l:

$M={\frac {4\pi }{3}}l^{3}\rho$

Przypadek z E=0 (realizowany w ogólnej teorii względności) daje:

$v^{2}=H^{2}l^{2}={\frac {8\pi }{3}}G\rho l^{2}$

Wynik nie zależy od rozmiaru kuli l (można uprościć przez $l^{2}$). Ostatecznie otrzymujemy:

$H^{2}={\frac {8\pi }{3}}G\rho$

Wartość stałej Hubble'a w chwili obecnej wyznacza gęstość krytyczną:

$H_{0}^{2}={\frac {8\pi }{3}}G\rho _{c}$

Wartość ta oraz stała Newtona G dają

$\rho _{c}=1.88h^{2}10^{-29}\ g\ cm^{-3}=2.77\ 10^{11}\ h^{2}\ M_{S}\ Mpc^{-3}=11.26h^{2}\ protons\ m^{-3}$

W kosmologii ważnym parametrem jest Ω

$\Omega ={\frac {\rho }{\rho _{c}}}$

określającym względną gęstość materii w stosunku do gęstości krytycznej. Zakładając zachowanie masy w rozszerzającej się objętości otrzymujemy:

$\rho ={\frac {M}{V}}={\frac {M}{V_{0}a^{3}}}={\frac {\rho _{0}}{a^{3}}}$

Pamiętając, że:

$H={\frac {\dot {a}}{a}}$

otrzymujemy równanie różniczkowe na czynnik skali:

${\frac {da}{dt}}=H_{0}{\sqrt {\frac {\Omega }{a}}}$

Rozwiązaniem tego równania jest:

$a(t)=({\frac {t}{t_{0}}})^{\frac {2}{3}}$

gdzie:

$t_{0}={\frac {2}{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}t_{H}$

jest wiekiem Wszechświata.