Astrofizyka/Newtonowski model gwiazdy

Newtonowski model gwiazdy

Gwiazda jest wynikiem równowagi między zapadaniem grawitacyjnym a ciśnieniem gazu starającym się przeciwdziałać kolapsowi. Dla kuli gazu o promieniu r źródłem grawitacji jest masa w niej zawarta:

m(r)=4\pi \int _{0}^{r}{r'}^{2}dr'\rho (r')

Masa ta na powierzchni jest źródłem przyśpieszenia grawitacyjnego:

g(r)=G_{N}{\frac {m(r)}{r^{2}}}

Na mały element masy dm=ρ(r)dV=ρ(r)S dr działa różnica sił δF=F(r + dr) - F(r)=dP S $\delta F=-g(r)dm.$ Daje to równania:

{\frac {dP}{dr}}=-G_{N}{\frac {m(r)\rho (r)}{r^{2}}}\quad (1)

{\frac {dm}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}\quad (2)

Równania te należy uzupełnić równaniem stanu:

P=P(ρ)

Przy zadanych warunkach początkowych (np. gęstość ρc w centrum gwiazdy) jest to układ równań różniczkowych którego rozwiązanie da rozkład masy w gwieździe m(r), gęstości ρ(r) czy ciśnienia P(r).

Równania te należy uzupełnić równaniami opisującymi transport energii w gwieździe. W wyniku reakcji syntezy termojądrowej w warstwie odległej o r od centrum gwiazdy produkowana jest gęstość energii ε(r)=ρ(r) p_m w jednostce czasu (gęstość mocy promieniowania). p_m jest mocą promieniowaną przez jednostkową masę. Na powierzchni sfery 4πr² wysyłane jest promieniowanie jasność którego jest równa L(r). Moc promieniowania produkowanego przez warstwę między promieniem r i r+dr jest równe 4πr²ε(r). Promieniowanie to daje jasność dL. Bilans energetyczny daje więc równanie:

{\frac {dL}{dr}}=4\pi r^{2}\epsilon (r)=4\pi r^{2}\rho (r)p_{m}

Płynący z wnętrza strumień energii jest konsekwencją różnicy temperatur

j(r)=-K{\frac {dT}{dr}},

gdzie K jest przewodnictwem cieplnym ośrodka (plazmy). Wysyłane promieniowanie przez sferę o promieniu r oczywiście wywołane jest przez strumień energii

L(r)=4\pi r^{2}j(r)

Rozkład temperatury T(r) i promieniowania gwiazdy L(r) opisany jest więc dodatkowymi równaniami różniczkowymi:

K{{\mbox{d}}T \over {\mbox{d}}r}=-{L \over 4\pi r^{2}}

{{\mbox{d}}L \over {\mbox{d}}r}=4\pi r^{2}\epsilon (r)=4\pi r^{2}\rho (r)p_{m}

Przewodnictwo cieplne w gwieździe nie jest stałe. Zależy ono silnie od mechanizmu transportu energii, od temperatury i gęstości wewnątrz gwiazdy.

Równania gwiazdy należy więc uzupełnić równaniem na przewodnictwo cieplne ośrodka:

K=K(ρ,T)

Jeżeli przewodnictwo cieplne zdominowane jest przez promieniowanie (gaz fotonowy) to:

K={\frac {4}{3}}c\lambda aT^{3}

gdzie σ=a c/4 jest współczynnikiem występującym w prawie Stefana-Boltzmanna (ciało doskonale czarne), a

\lambda ={\frac {1}{\rho \kappa }}

jest średnią drogą swobodną fotonu w plazmie, κ jest współczynnikiem nieprzeźroczystości ośrodka. W plazmie gwiazdy gdzie dominuje gaz elektronowy droga swobodna fotonu zależy od gęstości elektronów n_e i przekroju czynnego σ_e na rozpraszanie fotonów na elektronach (rozpraszanie Thomsona)

\lambda ={\frac {1}{\rho \kappa }}={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e}}}.

Dla przykładu we wnętrzu Słońca dla gęstości 10⁴ kg m^-3 średnia droga fotonu wynosi około 10^-5 m. Wnętrze gwiazdy nie jest przeźroczyste dla fotonów, staje się przeźroczyste dopiero w warstwie między R_γ=R-λ(R_γ) a promieniem gwiazdy R, gdzie droga swobodna fotonów jest większa od rozpraszającej warstwy plazmy. Promień R_γ nazywamy promieniem fotosfery (fotosfera). Jest to widoczny promień np. Słońca. Droga swobodna neutrin w większości gwiazd jest większa niż promień gwiazdy (wyjątkiem jest młoda gwiazda neutronowa). Neutrina niosą więc informację z samego centrum gwiazdy gdzie zachodzą reakcje syntezy jądrowej.

Równanie Lanego-Emdena

Równania gwiazdy newtonowskiej:

{\frac {dP}{dr}}=-G_{N}{\frac {m(r)\rho (r)}{r^{2}}}

{\frac {dm}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}

można przekształcić do jednego rówania

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}})=-4\pi G\rho (r)

Równania te należy uzupełnić równaniem stanu. Tak dla przykładu równanie stanu politropy ma postać:

P=K ρ^Γ z Γ=1+1/n

jako wykładnikiem politropy. Bardzo wygodnie jest przejść do bezwymiarowego układu współrzędnych:

r=r₀ x

{\frac {1}{r_{0}^{2}}}={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2-\Gamma }}{K(n+1)}}

gdzie ρ_c jest gęstością centralną gwiazdy. Podstawienie:

ρ = ρ_c θⁿ(x)

przekształca ostatnie równanie do równania Lanego-Emdena

{\frac {1}{x^{2}}}{\frac {d}{dx}}(x^{2}{\frac {d\theta }{dx}})=-\theta ^{n}

Istnieje kilka rozwiązań analitycznych. Dla przykładu, dla n=1 rozwiązaniem jest

θ(x)=sin(x)/x.

Ciśnienie w gwieździe jest równe

P=K ρ_c^Γθⁿ⁺¹.

Zerowanie się ciśnienia dla pewnego x₀ (x₀=π/2 dla n=1) wyznacza promień gwiazdy. Rozkład masy wewnątrz gwiazdy wyznacza funkcja m(r). Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową wielkość

u(x)=m(r)/M_S

gdzie M_S jest masą Słońca. Jeżeli przez M_c oznaczymy sobie jako

M_{c}={\frac {4}{3}}r_{0}^{3}\rho _{c},

to drugie równanie można scałkować od 0 do x₀, co da masę gwiazdy

{\frac {M}{M_{s}}}=3{\frac {M_{c}}{M_{s}}}\int _{0}^{x_{0}}dxx^{2}\theta ^{n}(x)

Przybliżenie Claytona

W środku gwiazdy gęstość jest w przybliżeniu stała ρ=ρ_c, masa gwiazdy narasta wtedy tak jak

m(r)={\frac {4\pi }{3}}\rho _{c}r^{3}

Gradient ciśnienia maleje wtedy liniowo:

{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {4\pi }{3}}G\rho _{c}^{2}r

Przy powierzchni gwiazdy ciśnienie powinno znikać. Ten fakt opisuje przybliżenie, które zrobił Clayton:

{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {4\pi }{3}}G\rho _{c}^{2}re^{-({\frac {r}{a}})^{2}}

wprowadzając ekspotencjalny zanik gradientu ciśnienia dla odległości rzędu a. Stała a jest wielkością fenomenologiczną dopasowywaną do danych obserwacyjnych. Pośrednio wyznacza ona promień gwiazdy. Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową zmienną x:

r= a x

Można scałkować równanie dla ciśnienia, otrzymujemy: