Fizyka dla liceum/Dynamika bryły sztywnej

Wstęp

Aby ciało zaczęło się obracać należy podziałać na nie siłą. Efekt działania siły zależy m.in od rozłożenia masy względem osi obrotu bryły.

moment bezwładności - wielkość charakteryzująca rozłożenie masy danego ciała względem jego osi obrotu.

Gdy podzielimy ciało na n nieskończenie małych fragmentów, wzór ma postać:

$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+...+m_{n}r_{n}^{2}$

Gdzie m - masa fragmentu, zaś r - jego odległość od osi obrotu.

Momenty bezwładności wybranych ciał

	wzór	obrazek
punkt materialny	$I=mr^{2}$
kula	$I={\frac {2}{5}}mr^{2}$
walec/krążek	$I={\frac {1}{2}}mr^{2}$
rura grubościenna	$I={\frac {1}{2}}m(R^{2}+r^{2})$
rura cienkościenna	$\,I=mr^{2}$
pręt - oś obrotu jest osią symetrii pręta	$I={\frac {1}{12}}ml^{2}$
pręt - oś obrotu jest prostopadła i przechodzi przez koniec pręta	$I={\frac {1}{3}}ml^{2}$

Twierdzenie Steinera

Jeżeli bryła sztywna o znanym momencie bezwładności obraca się względem innej osi niż oś przechodząca przez środek ciężkości, ale równoległej do niej, to wtedy jej moment bezwładności określa związek:

$\,I=I_{0}+md^{2}$

d - odległość rzeczywistej osi obrotu od osi przechodzącej przez środek ciężkości

Na ruch obrotowy bryły sztywnej ma wpływ siła wprawiająca w ruch bryłę i jej odległość od osi obrotu.

Wielkością od której zależy ruch obrotowy bryły sztywnej jest moment siły.

Moment siły jest wektorem.

Cechy momentu siły

Moment siły jest wynikiem mnożenia wektorowego wektora wodzącego i wektora siły

${\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {F}}$

• wartość

$\,M=rF\sin {\alpha }$

• kierunek

Jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektor wodzący i wektor siły

• zwrot

Jest określony regułą śruby prawoskrętnej.

Praktyka

Wartość momentu siły jest iloczynem siły i odległości jej wektora od osi obrotu, oraz sinusa kąta między siłą a jej ramieniem:

$M=Frsin\alpha$

Moment pędu

• wartość

Iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej:

$L=I\omega$

• kierunek

Prostopadły do płaszczyzny obrotu bryły.

• zwrot

Zgodny z regułą śruby prawoskrętnej.

Zasady dynamiki ruchu obrotowego

Jeżeli wypadkowy moment sił działających na ciało jest równy 0 to bryła pozostaje w spoczynku lub obraca się ze stałą prędkością kątową.

Przyspieszenie kątowe zależy wprost proporcjonalnie od wypadkowego momentu sił i odwrotnie proporcjonalnie od momentu bezwładności bryły:

$\epsilon ={\frac {M}{I}}$ $\left[{\frac {1}{s^{2}}}\right]$

$\,V=\omega r$

$\,a=\epsilon r$

WARUNEK TOCZENIA SIĘ BEZ POŚLIZGU

Jeżeli w czasie toczenia się bryły siła tarcia jest niewielka A współczynnik tarcia jest odpowiednio duży, to siła nadaje toczącemu się ciału przyspieszenie bez poślizgu. Oznacza to ze każdy punkt styczności z płaszczyzną jest w tym momencie nieruchomy.

Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, lub działające momenty sił równoważą się, pozostaje stały.

Przykłady

Przeanalizuj ruch szpulki od nici ciągniętej za nitkę nawiniętą przez szpulkę. (bez poślizgu)

[trzy obrazki] .

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

$E_{k}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}$

I - moment bezwładności

$\omega$ - prędkość kątowa

Energie kinetyczne ruchu obrotowego wybranych ciał (bez poślizgu).

• walec $E_{k}={\frac {{\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}}{2}}={\frac {mV^{2}}{4}}$
• kula $E_{k}={\frac {{\frac {2}{5}}mr^{2}{\frac {V^{2}}{r^{2}}}}{2}}={\frac {mV^{2}}{5}}$

Energia kinetyczna toczącego się ciała

Energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego:

$\,E_{k}=E_{k_{p}}+E_{k_{o}}={\frac {mV^{2}}{2}}+{\frac {I_{0}\omega ^{2}}{2}}={\frac {m\omega ^{2}R^{2}}{2}}+{\frac {I_{0}\omega ^{2}}{2}}={\frac {(I_{0}+mR^{2})\omega ^{2}}{2}}$

• dla kuli

$E_{k}={\frac {7mV^{2}}{10}}$

• dla walca

$E_{k}={\frac {3mV^{2}}{4}}$