Liczby zespolone/Historia

Historia liczb zespolonych

Historia liczb zespolonych sięga już tysięcy lat. Już sam wielki Heron z Aleksandrii (10-70), znany nam m.in. ze wzoru umożliwiającego obliczenie pola powierzchni trójkąta ze znajomości wymiarów jego boków, konstruując opisy matematyczne służące do wyznaczania pól podstaw, objętości i mas budowanych piramid, zastanawiał się nad równaniami kwadratowymi. Z pozoru były proste w obliczeniach, jednak ich rozwiązania nie zawsze mieściły się w ówcześnie poznawanej przestrzeni liczb rzeczywistych.

Spróbujmy teraz sami przyjrzeć się chociażby prostemu równaniu:

$P={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Co stałoby się jeśli liczba s stałaby się ujemna (-s) i z kolei a,b,c pozostały dodatnie?

$P={\sqrt {-s(-s-a)(-s-b)(-s-c)}}$

Po chwili na pewno każdy z was zauważy, że w tym dziwnym układzie, pomimo wprowadzenia znaku ujemnego – po wyciągnięciu znaku przed nawias - pierwiastek wciąż pozostanie dodatni i będziemy mogli znaleźć wartość liczby P:

$P={\sqrt {s(s+a)(s+b)(s+c)}}$

Jednak od razu nasuwa się nam myśl, że przecież - co widać gołym okiem - pierwiastkujemy liczby ujemne:

$P={\sqrt {-s}}{\sqrt {-(s+a)}}{\sqrt {-(s+b)}}{\sqrt {-(s+c)}}$

a takie działania przecież, według szkolnej nauki, nie przynoszą nam skutku.

Jednak ludzkość, szczególnie jej część europejska, przez kolejne wieki nie zainteresowała się rozwikłaniem jakichkolwiek rozważań w tej dziedzinie, uznając je najprawdopodobniej za niekonwencjonalne i, zamiast drapać się w głowę, wolała skupić się na wegetatywnym wykorzystaniu dotychczasowych osiągnięć matematyki - ze względów ideologicznych ignorując istnienie liczb choćby ujemnych.

Prawdziwe odrodzenie w matematyce przyniósł XVI wiek. Oprócz mnóstwa nagromadzonych przez lat pytań, znalazło się wielu śmiałków, którzy ochoczo starali się na nie odpowiadać. Jednym z nich był włoski matematyk Girolamo Cardano (1501-1576). W roku 1545 sporządził on dzieło Ars Magna (Wielka Sztuka), w którym rozważył taki oto problem:

„Gdyby ktoś kazał Tobie wziąć liczbę 10 i podzielić ją na dwie części, tak by pomnożone jedna z drugą dały 40 – odpowiesz niemożliwe. Jednak rozwiążemy to równanie dla Ciebie”

Rozpiszmy więc układ równań:

${\begin{cases}a+b=10\\a\cdot b=40\\\end{cases}}$

otrzymamy zeń równanie kwadratowe:

$a^{2}-10a+40=0\!$

do którego rozwiązania wyznaczymy z definicji deltę $\Delta =-60$,

oraz nie przejmując się ujemnością delty, wyznaczymy pierwiastki równania $5-{\sqrt {-15}}\!$ oraz $5+{\sqrt {-15}}\!$ będące rozwiązaniami problemu!

Problem ten nie definiował liczb zespolonych jako takich, ale jego rozwiązanie wynikało z zastosowania własności tych liczb. Cardano posunął się dalej w rozważaniach, używając prywatnych i niepublikowanych wcześniej prac Niccolò Tartaglii (1500 - 1556) - który jako pierwszy rozwiązał równania trzeciego stopnia. Ich twierdzenia były dla ówczesnych matematyków rodzajem herezji - w końcu nie dość, że swobodnie używali oni liczb ujemnych, to mieli czelność je pierwiastkować.

Przełomu dokonał dopiero trzydzieści lat później, uważany za "ojca liczb zespolonych", Rafael Bombelli (1526-1572). Nie był on matematykiem, lecz zwykłym inżynierem, zajmującym się m.in. hydrologią. Nie przejmując się twierdzeniami środowiska matematycznego, zaprzeczającego istnieniu pierwiastka liczb ujemnych - po prostu go zastosował. René Descartes nazywał taki pierwiastek przewrotnie liczbą wyimaginowaną (urojoną).

Zwolennicy liczb urojonych z czasem poczęli oznaczać pierwiastek z -1 literką i (z łac. imaginarius), przyjmując że $i^{2}=-1\!$. Zwyczaj ten rozpropagował Euler.