Liczby zespolone/Definicje, twierdzenia, wzory

Definicje, twierdzenia, wzory

Dla lepszego ogarnięcia wiedzy zakresu liczb zespolonych, warto sobie przypomnieć jakie w ogóle mamy podstawowe zbiory liczbowe i ich oznaczenia:

$\mathbb {N} \;$ - zbiór liczb naturalnych (z ang. natural, naturalny),

$\mathbb {Z} \;$ - zbiór liczb całkowitych (z niem. Zahlen, liczby),

$\mathbb {Q} \;$ - zbiór liczb wymiernych (z ang. quotient, iloraz),

$\mathbb {IQ} \;$ - zbiór liczb niewymiernych,

$\mathbb {R} \;$ - zbiór liczb rzeczywistych (z ang. real, rzeczywisty),

oraz nowo poznawany – $\mathbb {C} \;$ - zbiór liczb zespolonych (z ang. complex, złożenie),

W algebrze pojęcie liczb stale się zmieniało, a znane zbiory liczbowe ulegały nieustannemu poszerzaniu. Nowe pojęcia liczb wprowadzano zawsze wtedy, kiedy wyniki zasadniczych działań nie mieściły się w dotychczasowych zbiorach liczbowych. Stąd też odejmowanie liczb naturalnych większych od mniejszych wprowadziło z czasem nieuniknioną konieczność utworzenia liczb ujemnych. Z połączenia obu tych zbiorów powstał zbiór liczb całkowitych. Jednak i tu, ze względu na dzielenie, a dokładnie niepodzielność niektórych liczb całkowitych względem siebie, należało wprowadzić obok liczb wymiernych zapisywanych jako ułamki - liczby niewymierne, których dokładnego wymiaru nie jesteśmy w stanie zapisać w ułamku. Liczby niewymierne dopełniły więc poprzedni zbiór liczb wymiernych, tworząc w połączeniu przestrzeń liczb rzeczywistych, którą można łatwo zobrazować, np. na osi współrzędnych:

Rysunek poglądowy: Relacje podstawowych zbiorów liczbowych względem osi liczbowej

W rozdziale historia zwróciliśmy uwagę, że również w przypadku tak zaawansowanego zbioru liczb jakim jest zbiór rzeczywisty, mamy problem z określeniem wartości pierwiastka kwadratowego z liczb ujemnych. Wykraczają one bowiem poza zakres tego zbioru – znajdują się poza nim. Stąd istniała konieczność powołania przestrzeni, w której zawierałaby się zarówno przestrzeń liczb rzeczywistych oraz przestrzeń zawierająca pierwiastki z liczb ujemnych. Tą potrzebną przestrzenią stały się liczby wyimaginowane (urojone) - z łaciny oznaczane Im lub $\Im \;$ (łac. imaginarius).

Rysunek poglądowy: Liczby zespolone wykraczają poza oś liczb rzeczywistych

W roku 1673, angielski matematyk, John Wallis (1616 - 1703) stwierdził, że liczby urojone nie mieszczą się na osi liczb rzeczywistych lecz wokół niej, co łatwo zobrazowaliśmy sobie na powyższym rysunku.

Liczby urojone, jak więc widać, są dopełnieniem zbioru liczb rzeczywistych - w połączeniu z którym tworzą zbiór liczb zespolonych $\mathbb {C} \;$.

Zbiory liczbowe

Posiadając już tego typu wstępne wiadomości, z powodzeniem możemy zagłębić się w świat matematyki i przedstawić sobie kilka kolejnych definicji, twierdzeń i wzorów poruszonych w kolejnych podrozdziałach.