Liczby zespolone/Liczby urojone

Liczby urojone

{\sqrt {-u}}\!

?

Pomysł o istnieniu liczby ujemnej, jest niemal czysto filozoficzny. Skoro na świecie miałyby istnieć liczby dodatnie, to zapewne musiałyby istnieć liczby do nich przeciwne. Tylko jak współdziałałyby one ze sobą?

Znany nam z historii Rafael Bombelli bardzo interesował się matematyką. W swoim dziele "Algebra", opublikowanym w roku 1572, zauważył ciekawą rzecz znamienną dla liczb rzeczywistych, którą warto tutaj sobie przypomnieć. Określił on bowiem działania na liczbach rzeczywistych w zależności od znaku liczby - co można w skrócie zapisać:

dodatnia razy dodatnia, daje dodatnią
ujemna razy ujemna, daje dodatnią
dodatnia razy ujemna, daje ujemną
ujemna razy dodatnia, daje ujemną

Skoro tak to można byłoby zadać sobie pytanie - czy istnieją jakieś liczby, które przy zastosowaniu tych samych zasad dawałyby wynik zupełnie przeciwny?

Określenie działań na liczbach ujemnych było wprowadzeniem niezbędnym do poznania sposobów zachowania się ich pierwiastków, Bombelli określił bowiem zachowanie się pierwiastków liczb ujemnych w oparciu o powyższą zasadę. W swojej książce napisał, że:

$+{\sqrt {-u}}\cdot +{\sqrt {-u}}=-u$
$-{\sqrt {-u}}\cdot -{\sqrt {-u}}=-u$
$+{\sqrt {-u}}\cdot -{\sqrt {-u}}=+u$
$-{\sqrt {-u}}\cdot +{\sqrt {-u}}=+u$

czyli słownie:

dodatni pierwiastek liczby ujemnej razy dodatni pierwiastek liczby ujemnej, daje liczbę ujemną
ujemny pierwiastek liczby ujemnej razy ujemny pierwiastek liczby ujemnej, daje liczbę ujemną
dodatni pierwiastek liczby ujemnej razy ujemny pierwiastek liczby ujemnej, daje liczbę dodatnią
ujemny pierwiastek liczby ujemnej razy dodatni pierwiastek liczby ujemnej, daje liczbę dodatnią

Jak widać, liczby urojone poddawały się tym samym własnościom, co liczby rzeczywiste, ale z różnicą wyniku (co do znaku) - co może się nam teraz wydawać niemal zupełnie oczywiste. Skoro jednak liczby urojone otrzymujemy na podstawie różnych konfiguracji działań na liczbach rzeczywistych, to czemu miałoby być też inaczej - wystarczy przemnożyć by sprawdzić. Dla ówczesnych matematyków jednak to takie proste nie było. Przy takim nowym zapisie musieliby oni uznać, często wcześniej pomijany fakt, że pierwiastek kwadratowy liczb rzeczywistych jest funkcją dwuwartościową, np. $4=\left(2\right)^{2}$ ale też $4=\left(-2\right)^{2}$ .

Wynikałoby stąd, że działania na liczbach urojonych zachowują kształt działań jak przy liczbach rzeczywistych. Stąd też, zbiór liczb urojonych nazywa się izomorficznym (równokształtnym) ze zbiorem liczb rzeczywistych. Jednak w tym momencie samą ideologią tego słowa nie warto zaprzątać sobie głowy - są ważniejsze problemy.

Niestety, jak powiedzieliśmy sobie wcześniej, wciąż istniały kłopoty z określeniem położenia liczb urojonych względem liczb rzeczywistych. Nasze rysunki poglądowe z poprzedniego rozdziału wybiegały daleko w przyszłość. Do tego, w międzyczasie doszedł jeszcze problem niewygodnej i zawiłej notacji. Przez kolejne lata, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, jak i wyższego rzędu, wciąż stosowano dla miejsc zerowych zapis typu: $5+{\sqrt {-25}}$ . Już sam pierwiastek ${\sqrt {-25}}$ nie wygląda przystępnie i wzbudza zmieszanie wśród ludzi znających podstawowe prawa arytmetyki - głoszące brak rozwiązania takiego działania - a co dopiero, jeśli taki pierwiastek napiszemy w złożeniu z inną liczbą.

W roku 1777 przyszedł z pomocą szwajcarski matematyk Leonard Euler. Zaproponował on dość banalny sposób rozwiązania problemów, jakie stwarza widok pierwiastka liczby ujemnej. Dla przykładu - dysponując liczbą ${\sqrt {-25}}$ , zawsze przecież, możemy wyciągnąć z niej część rzeczywistą prostym działaniem matematycznym:

{\sqrt {-25}}={\sqrt {-1\cdot 25}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {25}}={\sqrt {-1}}\cdot 5

Jak więc widać, w zasadzie każda liczba urojona może zostać zapisana w takiej postaci - bo dla każdej liczby rzeczywistej u oraz odpowiedniej rzeczywistej b możemy napisać: $u=b^{2}$ , oraz:

{\sqrt {-u}}={\sqrt {-1\cdot b^{2}}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {-1}}\cdot b

Euler zaproponował, aby zamiast ${\sqrt {-1}}$ pisać po prostu $i\!$ . W końcu, skoro możemy pisać ° jako oznaczenie stopnia kąta - to czemu nie użyć literki i jako symbolu imaginacji - urojenia.

Stąd też założenie, że $i={\sqrt {-1}}$ litera i oznacza jednostkę urojoną wynoszącą pierwiastek z minus jeden^[1]

Dzięki temu, liczby urojone możemy zapisywać w wygodnej, nie budzącej już grozy, postaci $bi\!$ , gdzie $b$ jest jakąś liczbą rzeczywistą powstałą jak powyżej.

Jednak założenie to było niewystarczające (jak objaśniono w przypisach) dlatego też bazując na zdobytych wcześniej doświadczeniach lepiej było założyć:

i^{2}=-1\!

(kwadrat jednostki urojonej jest ujemny i równy minus jeden)

↑ Sprawa wyjaśniania notacji jest wciąż dyskusyjna i może początkowo sprawiać kłopot w zrozumieniu.
$\scriptscriptstyle {i={\sqrt {-1}}}$ to umowne oznaczenie jednostki urojonej, dzięki któremu możemy zapisać liczby urojone w postaci bi.
Jednak wprawne oko zauważy, że analizując pewne działania możemy otrzymać ciekawą formę:
$\scriptscriptstyle {i^{2}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$
Jest ona jednak niezgodna z dalszymi założeniami, ponieważ dla operacji na liczbach ujemnych ma znaczenie kolejność działań!
Dlatego by wykluczyć wątpliwości, idąc dalej, należy przyjąć, że najpierw wykonujemy operacje na wykładnikach potęgi:
$\scriptscriptstyle {i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=(-1)^{{\frac {1}{2}}\cdot 2}=-1}$
Dla uniknięcia wyżej wymienionych problemów wartości $\scriptscriptstyle {i^{2}=-1}$ nie należy rozbijać na pierwiastki, lecz przyjąć jak podaną w założeniu. Dlatego też w wielu podręcznikach spotkać można się z założeniami lekko wybiegającymi przed wcześniejsze rozumowanie - prowadzone w sposób odwrotny:
skoro $\scriptscriptstyle {i^{2}=-1}$ to zapisujemy, że $\scriptscriptstyle {i=\pm {\sqrt {-1}}}$
W tej konwencji niestety otrzymując w wyniku pierwiastkowania rozwiązanie dwuwartościowe spotkamy się często z problemem doboru znaku. Są to jednak drobne niuanse, którymi nie należy się jednak zrażać i których zrozumienie przyjdzie z dalszymi rozdziałami podręcznika - bowiem wynikają one z braku intuicji / doświadczenia, które szybko można wyrównać rozwiązując zadania matematyczne.

Następny rozdział: Płaszczyzna zespolona. Poprzedni rozdział: Definicje, twierdzenia, wzory.

Podręcznik: Liczby zespolone.

[1] Sprawa wyjaśniania notacji jest wciąż dyskusyjna i może początkowo sprawiać kłopot w zrozumieniu.
$\scriptscriptstyle {i={\sqrt {-1}}}$ to umowne oznaczenie jednostki urojonej, dzięki któremu możemy zapisać liczby urojone w postaci bi.
Jednak wprawne oko zauważy, że analizując pewne działania możemy otrzymać ciekawą formę:
$\scriptscriptstyle {i^{2}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$
Jest ona jednak niezgodna z dalszymi założeniami, ponieważ dla operacji na liczbach ujemnych ma znaczenie kolejność działań!
Dlatego by wykluczyć wątpliwości, idąc dalej, należy przyjąć, że najpierw wykonujemy operacje na wykładnikach potęgi:
$\scriptscriptstyle {i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=(-1)^{{\frac {1}{2}}\cdot 2}=-1}$
Dla uniknięcia wyżej wymienionych problemów wartości $\scriptscriptstyle {i^{2}=-1}$ nie należy rozbijać na pierwiastki, lecz przyjąć jak podaną w założeniu. Dlatego też w wielu podręcznikach spotkać można się z założeniami lekko wybiegającymi przed wcześniejsze rozumowanie - prowadzone w sposób odwrotny:
skoro $\scriptscriptstyle {i^{2}=-1}$ to zapisujemy, że $\scriptscriptstyle {i=\pm {\sqrt {-1}}}$
W tej konwencji niestety otrzymując w wyniku pierwiastkowania rozwiązanie dwuwartościowe spotkamy się często z problemem doboru znaku. Są to jednak drobne niuanse, którymi nie należy się jednak zrażać i których zrozumienie przyjdzie z dalszymi rozdziałami podręcznika - bowiem wynikają one z braku intuicji / doświadczenia, które szybko można wyrównać rozwiązując zadania matematyczne.

[1]