Liczby zespolone/Moduł liczby
Moduł liczby zespolonej
edytujWartość bezwzględna liczb rzeczywistych była tak zwaną normą - liczbą określającą odległość liczby rzeczywistej od początku układu współrzędnych, bez względu na miejsce, w którym się ta liczba znajdowała. Liczby rzeczywiste przedstawione są na jednej osi - tak więc mogły znajdować się tylko po lewej lub po prawej stronie układu współrzędnych, np. w tej samej odległości = |4| od początku osi liczb rzeczywistych znajdują się dwie liczby: +4 oraz -4.
Nie powinniśmy mieć też problemów z określeniem odległości w przestrzeni liczb zespolonych, które mogą przecież leżeć po bokach osi . O ile tylko potraktujemy jako jednostkę osi urojonej - będziemy mogli rozpatrzyć położenie liczby względem początku nie tylko jednej osi rzeczywistej Re, ale również względem początku osi urojonej Im, w sposób znany nam doskonale z układu kartezjańskiego .
Postarajmy się więc odnaleźć odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Szybko zauważymy, że możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o wartościach: a równej części rzeczywistej i b równej części urojonej . Wartość bezwzględna będzie określała odległość od początku układu współrzędnych. Aby wyznaczyć wzór na tę odległość - skorzystać musimy z Twierdzenia Pitagorasa, dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c: . Skoro wartość c równa jest odległości liczby od punktu - oznacza to, że znaleźliśmy ogólny przepis na wartość bezwzględną :
płaszczyzny liczb zespolonych )
Modułem liczby zespolonej (wartością bezwzględną liczby zespolonej ) nazywamy jej odległość od początku układu współrzędnych, określoną wzorem:
|
Stąd też można napisać, że:
kwadratów jej części rzeczywistej i urojonej)
Własności modułu
edytujModuł liczby zespolonej posiada identyczne własności, co wartość bezwzględna dwumianów:
- Moduł liczby zespolonej , sprzężonej , i przeciwnej :
- Kwadrat modułu liczby zespolonej:
- ,
- Moduł iloczynu liczb zespolonych:
- ,
- Moduł ilorazu liczb zespolonych:
- , o ile ,
Moduł sumy liczb zespolonych ma również szczególne właściwości:
- Moduł sumy liczb zespolonych:
- ,
- Moduł różnicy liczb zespolonych:
- ,
- Moduł części rzeczywistej:
- ,
- Moduł części urojonej:
- ,