Liczby zespolone/Moduł liczby

Moduł liczby zespolonejEdytuj

Wartość bezwzględna liczb rzeczywistych była tak zwaną normą - liczbą określającą odległość liczby rzeczywistej od początku układu współrzędnych, bez względu na miejsce, w którym się ta liczba znajdowała. Liczby rzeczywiste przedstawione są na jednej osi - tak więc mogły znajdować się tylko po lewej lub po prawej stronie układu współrzędnych, np. w tej samej odległości = |4| od początku osi liczb rzeczywistych znajdują się dwie liczby: +4 oraz -4.

Nie powinniśmy mieć też problemów z określeniem odległości w przestrzeni liczb zespolonych, które mogą przecież leżeć po bokach osi  . O ile tylko   potraktujemy jako jednostkę osi urojonej - będziemy mogli rozpatrzyć położenie liczby względem początku nie tylko jednej osi rzeczywistej Re, ale również względem początku osi urojonej Im, w sposób znany nam doskonale z układu kartezjańskiego  .

Postarajmy się więc odnaleźć odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Szybko zauważymy, że możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o wartościach: a równej części rzeczywistej   i b równej części urojonej  . Wartość bezwzględna   będzie określała odległość   od początku układu współrzędnych. Aby wyznaczyć wzór na tę odległość - skorzystać musimy z Twierdzenia Pitagorasa, dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c:  . Skoro wartość c równa jest odległości liczby   od punktu   - oznacza to, że znaleźliśmy ogólny przepis na wartość bezwzględną  :

 
(wzór na odległość punktu   od początku
płaszczyzny liczb zespolonych  )

Stąd też można napisać, że:

 
(kwadrat modułu liczby zespolonej jest sumą
kwadratów jej części rzeczywistej i urojonej)

Własności modułuEdytuj

Moduł liczby zespolonej posiada identyczne własności, co wartość bezwzględna dwumianów:

  1. Moduł liczby zespolonej  , sprzężonej  , i przeciwnej  :
     
  2. Kwadrat modułu liczby zespolonej:
     ,
  3. Moduł iloczynu liczb zespolonych:
     ,
  4. Moduł ilorazu liczb zespolonych:
     ,  o ile  ,

Moduł sumy liczb zespolonych ma również szczególne właściwości:

  1. Moduł sumy liczb zespolonych:
     ,
  2. Moduł różnicy liczb zespolonych:
     ,
  3. Moduł części rzeczywistej:
     ,
  4. Moduł części urojonej:
     ,
Następny rozdział: Argument liczby. Poprzedni rozdział: Sprzężenie liczby.

Podręcznik: Liczby zespolone.