Liczby zespolone/Sprzężenie liczby
Sprzężenie liczby zespolonej
edytujJakby nie patrzeć, z matematycznego punktu widzenia liczby zespolone są sumą dwóch jednomianów. Element o podwójnej konstrukcji zwany jest w matematyce dwumianem i posiada ciekawą właściwość zwaną sprzężeniem. Liczby zespolone poddają się jego charakterystycznym właściwościom tak samo jak liczby rzeczywiste.
Przypomnijmy sobie definicję tej właściwości:
Sprzężeniem dwumianu o wyrazach rzeczywistych nazywamy nowy dwumian powstały z wcześniej danego, poprzez wzięcie elementu przeciwnego do drugiego wyrazu tego dwumianu. |
Definicja z pozoru całkiem zagmatwana. Rzeczy najprostsze chyba jest najtrudniej opisać. Kiedy bowiem sobie wszystko rozpiszemy - zabieg wydaje się trywialny.
Sprzężeniem dwumianu rzeczywistego , jest również dwumian rzeczywisty . Jeżeli za y podstawilibyśmy liczbę urojoną, to sprzężenie takie byłoby sprzężeniem liczby zespolonej. Wystarczy tylko spojrzeć na jej postać algebraiczną.
Sprzężenie liczby w matematyce oznacza się na dwa sposoby, albo przez oznaczenie liczby poziomą linią na górze , albo czasami przez oznaczenie liczby tzw. operatorem gwiazdki: .
Sprzężeniem liczby zespolonej , gdzie nazywamy liczbę opisaną wzorem:
|
.
Spoglądając na wykres, liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej odbiciem w symetrii względem osi rzeczywistej Re.
Właściwości sprzężenia
edytujSprzężenie dwóch liczb rzeczywistych dawało bardzo przydatną właściwość, znaną ze wzorów skróconego mnożenia. Podobnie jest z liczbami zespolonymi:
- Iloczyn liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
- ,
- Sprzężenie liczby sprzężonej:
- ,
- Sprzężenie sumy jest sumą sprzężeń:
- ,
- Sprzężenie różnicy jest różnicą sprzężeń:
- ,
- Sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń:
- ,
- Sprzężenie ilorazu jest ilorazem sprzężeń:
- , zakładając że ,
- Suma liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
- Różnica liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
- Część rzeczywista sprzężenia:
- ,
- Część urojona sprzężenia:
- ,