Liczby zespolone/Sprzężenie liczby

Sprzężenie liczby zespolonejEdytuj

Jakby nie patrzeć, z matematycznego punktu widzenia liczby zespolone są sumą dwóch jednomianów. Element o podwójnej konstrukcji zwany jest w matematyce dwumianem i posiada ciekawą właściwość zwaną sprzężeniem. Liczby zespolone poddają się jego charakterystycznym właściwościom tak samo jak liczby rzeczywiste.

Przypomnijmy sobie definicję tej właściwości:

Definicja z pozoru całkiem zagmatwana. Rzeczy najprostsze chyba jest najtrudniej opisać. Kiedy bowiem sobie wszystko rozpiszemy - zabieg wydaje się trywialny.

Sprzężeniem dwumianu rzeczywistego  , jest również dwumian rzeczywisty  . Jeżeli za y podstawilibyśmy liczbę urojoną, to sprzężenie takie byłoby sprzężeniem liczby zespolonej. Wystarczy tylko spojrzeć na jej postać algebraiczną.

Sprzężenie liczby w matematyce oznacza się na dwa sposoby, albo przez oznaczenie liczby poziomą linią na górze  , albo czasami przez oznaczenie liczby tzw. operatorem gwiazdki:  .

.

Spoglądając na wykres, liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej odbiciem w symetrii względem osi rzeczywistej Re.

Właściwości sprzężeniaEdytuj

Sprzężenie dwóch liczb rzeczywistych dawało bardzo przydatną właściwość, znaną ze wzorów skróconego mnożenia. Podobnie jest z liczbami zespolonymi:

  1. Iloczyn liczby zespolonej   i liczby do niej sprzężonej  :
     ,
  2. Sprzężenie liczby sprzężonej:
     ,
  3. Sprzężenie sumy jest sumą sprzężeń:
     ,
  4. Sprzężenie różnicy jest różnicą sprzężeń:
     ,
  5. Sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń:
     ,
  6. Sprzężenie ilorazu jest ilorazem sprzężeń:
     , zakładając że  ,
  7. Suma liczby zespolonej   i liczby do niej sprzężonej  :
     
  8. Różnica liczby zespolonej   i liczby do niej sprzężonej  :
     
  9. Część rzeczywista sprzężenia:
     ,
  10. Część urojona sprzężenia:
     ,
Następny rozdział: Moduł liczby. Poprzedni rozdział: Postać algebraiczna.

Podręcznik: Liczby zespolone.