Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Granica ciągu liczbowego

Definicja

DEFINICJA Liczba $g$ jest granicą ciągu ($a_{n}$) - co oznaczamy $\lim _{n\to \infty }a_{n}=g$ lub $a_{n}\rightarrow g$ dla $n\rightarrow \infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej $\varepsilon$ prawie wszystkie wyrazy ciągu ($a_{n}$) znajdują się w odległości mniejszej niż $\varepsilon$ od $g$.

Definicja

DEFINICJA Liczba $g$ jest granicą ciągu ($a_{n}$) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej $\varepsilon$ istnieje taka liczba $\delta$, że dla każdej liczby naturalnej $n>\delta$ zachodzi nierówność $|a_{n}-g|<\varepsilon$. Zapis symboliczny:$\lim _{n\to \infty }a_{n}=g\Leftrightarrow \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta }\forall _{n>\delta }|a_{n}-g|<\varepsilon$