Liczba g {\displaystyle g} jest granicą ciągu ( a n {\displaystyle a_{n}} ) - co oznaczamy lim n → ∞ a n = g {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=g} lub a n → g {\displaystyle a_{n}\rightarrow g} dla n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε {\displaystyle \varepsilon } prawie wszystkie wyrazy ciągu ( a n {\displaystyle a_{n}} ) znajdują się w odległości mniejszej niż ε {\displaystyle \varepsilon } od g {\displaystyle g} .
Liczba g {\displaystyle g} jest granicą ciągu ( a n {\displaystyle a_{n}} ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε {\displaystyle \varepsilon } istnieje taka liczba δ {\displaystyle \delta } , że dla każdej liczby naturalnej n > δ {\displaystyle n>\delta } zachodzi nierówność | a n − g | < ε {\displaystyle |a_{n}-g|<\varepsilon } . Zapis symboliczny: lim n → ∞ a n = g ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ∀ n > δ | a n − g | < ε {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=g\Leftrightarrow \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta }\forall _{n>\delta }|a_{n}-g|<\varepsilon }
jest granicą ciągu (
) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej 
istnieje taka liczba 
, że dla każdej liczby naturalnej 
zachodzi nierówność 
.
