Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Dziedzina funkcji
Własności funkcji
edytujDla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:
- dziedzina funkcji
- zbiór wartości funkcji
- miejsca zerowe funkcji
- zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
- zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
- monotoniczność
- najmniejsza i największa wartość funkcji
- różnowartościowość
- parzystość
- nieparzystość
- okresowość
- wartości funkcji
Dziedzina funkcji
edytujDEFINICJA Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona. |
Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez .
Wyznaczanie dziedziny funkcji
edytujPodczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:
- dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
- liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
- liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią
Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:
Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:
- Jest to po prostu ułamek , dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
- Zauważamy, że . Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku
- Patrzymy na mianownik. Mamy . Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że , czyli .
- Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy , zatem dziedziną będzie .
Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany
I znowu banał...
- Mamy ułamek , gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
- Patrzymy na licznik a. I znowu mamy . Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
- No i mamy . Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku ) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x i po prostym przekształceniu otrzymujemy
- Teraz patrzymy na mianownik , który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie . I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
- Zatem , , . Ponadto, aby wyrażenie miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem .
- I podsumowujemy: , , , , . Zatem .
Przykład 1.
Określmy dziedzinę funkcji . Wyrażenie ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy , ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że .
Przykład 2. Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:
- z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:
Czyli .
Przykład 3. Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli , a wtedy .
Przykład 4. Mianownik musi być różny od zera, wobec czego . Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze ), więc nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy .