Matematyka dla liceum/Kosz/Przekształcanie równań
Przekształcanie równań
edytujZałóżmy, że mamy równanie typu . Możemy przenieść którąś zmienną z jednej strony równania na drugą, jednak należy zmienić znak na przeciwny, czyli np. przenosząc d na lewą stronę otrzymamy:
i mamy wzór na c. Podobnie w powyższym równaniu możemy a przenieść na prawą stronę otrzymując:
- .
Do każdego równania możemy obustronnie dodać lub odjąć pewną liczbę, wówczas otrzymane równanie będzie równoważne poprzedniemu. Na przykład:
- Równanie jest równoważny , dodaliśmy 5.
- jest równoważne .
- jest równoważne równaniu , zostało dodane b; zmienne też można dodawać.
Każde równanie możemy obustronnie wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, która musi być różna od 0. Na przykład:
- Równanie jest równoważne równaniu , ponieważ gdy równanie pierwsze obustronnie wymnożymy przez 3 otrzymamy równanie drugie.
- Równanie jest równoważne równaniu , ponieważ otrzymamy je, gdy pierwsze równanie obustronnie wymnożymy przez -1.
- Równanie odpowiada równaniu , ponieważ równanie drugie otrzymamy po obustronnym podzieleniu przez 3.
Nierówności
edytujPowyższe własności odnoszą się także do nierówności, tylko z jednym :
- Przy obustronnym wymnażaniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak na przeciwny.
Powyższa zasada nie liczy się dodawania i odejmowania, tylko mnożenia i dzielenia.
Spójrzmy na kilka przykładów:
- wtedy i tylko wtedy, gdy .
- Nierówność jest równoważna nierówności ; musieliśmy zmienić znak na przeciwny, ponieważ dzieliliśmy obustronnie przez .
- wtedy i tylko wtedy, gdy .