Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnychEdytuj

zbiór liczb naturalnych, liczby naturalne

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru  . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy  .

 
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór  .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

liczba pierwsza, liczba złożona, zbiór liczb pierwszych
 
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez  , a i-ta liczba pierwsza przez   np.  .

Zbiór liczb całkowitychEdytuj

zbiór liczb całkowitych, liczby całkowite
 
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór  .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez  , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez  . Łatwo zauważyć, że  .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez   (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernychEdytuj

zbiór liczb wymiernych, liczby wymierne
 
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego  , gdzie   i  .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez  , a ujemnych przez  .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez  .

Zbiór liczb niewymiernychEdytuj

zbiór liczb niewymiernych, liczby niewymierne
 
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego  , dla   i  

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych:  . Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie  .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba  , czy też  .

Zbiór liczb rzeczywistychEdytuj

zbiór liczb rzeczywistych, liczby rzeczywiste
 
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez  , a ujemnych przez  .

związki pomiędzy zbiorami liczb

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


Rozwinięcie dziesiętneEdytuj

rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np.       Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie  . Na pewno pamiętamy, że  . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

 
 
 , ponieważ  
 
 
 

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest  . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa  . Zobaczmy na rozwiązanie:

 
 , ponieważ  
 
 
 
 

Szukaną liczbą jest  .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że  . Oto rozwiązanie:

 
 , ponieważ  

Jeżeli:

 

to:

 
 
 

Skoro  , to:

 

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład:  .

 
 
 

Jeżeli:

 

to:

 
 
 
 

Liczbę   możemy zapisać także w formie   Podobnie   możemy zapisać jako   a także   W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera   a także liczba   Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.