Matematyka dla liceum/Stereometria/Wielościany w zadaniach

Wielościany w zadaniach

Graniastosłupy

(przekątne)
Zad. Dany jest graniastosłup prosty o podstawie rombu, którego bok ma długości a, natomiast kąt rozwarty ma miarę 120^o. Wysokość bryły wynosi $a{\sqrt {3}}$. Oblicz długości przekątnych graniastosłupa.

dane: wysokość $H=a{\sqrt {3}}$, boki podstawy a, kąt w podstawie 120.

Przekątne graniastosłupa są podobne do przekątnych podstawy, jedynie, łączą one wierzchołek dolnej i górnej podstawy. Znajdują się więc 'nad' przekątnymi rombu, nachylone pod pewnym kątem, jak na rysunku pierwszym. Podstawą jest romb (rysunek drugi) o kątach wynoszących 120 oraz 60 stopni (z: suma kątów przy boku wynosi 180), przez co romb dzieli się na trójkąty 30-60-90, ADS.

Znajdujemy długości przekątnych podstawy - z własności trójkąta 30-60-90.

$|AD|=2|DS|\qquad |AS|={\sqrt {3}}|DS|={\frac {{\sqrt {3}}|AD|}{2}}$

po obliczeniach: $f=a,\;e=a{\sqrt {3}}$

Aby znaleźć długości przekątnych bryły, rozpatrzymy trójkąty tworzone przez nie z krawędzią boczną i przekątnymi podstawy.

Wykorzystujemy przekątne podstawy w trójkątach z d₁ i d₂. Z tw. Pitagorasa obliczamy przekątne graniastosłupa.

$d_{1}^{\;2}=(a{\sqrt {3}})^{2}+(a{\sqrt {3}})^{2}\qquad d_{2}^{\;2}=(a{\sqrt {3}})^{2}+a^{2}$

$d_{1}=a{\sqrt {6}}\qquad d_{2}=2a$

---