Matematyka dla liceum/Stereometria/Wielościany w zadaniach

Wielościany w zadaniach

edytuj

Graniastosłupy

edytuj

(przekątne)
Zad. Dany jest graniastosłup prosty o podstawie rombu, którego bok ma długości a, natomiast kąt rozwarty ma miarę 120o. Wysokość bryły wynosi  . Oblicz długości przekątnych graniastosłupa.

dane: wysokość  , boki podstawy a, kąt w podstawie 120.

Przekątne graniastosłupa są podobne do przekątnych podstawy, jedynie, łączą one wierzchołek dolnej i górnej podstawy. Znajdują się więc 'nad' przekątnymi rombu, nachylone pod pewnym kątem, jak na rysunku pierwszym. Podstawą jest romb (rysunek drugi) o kątach wynoszących 120 oraz 60 stopni (z: suma kątów przy boku wynosi 180), przez co romb dzieli się na trójkąty 30-60-90, ADS.

   

Znajdujemy długości przekątnych podstawy - z własności trójkąta 30-60-90.

 
po obliczeniach:  

Aby znaleźć długości przekątnych bryły, rozpatrzymy trójkąty tworzone przez nie z krawędzią boczną i przekątnymi podstawy.

   

Wykorzystujemy przekątne podstawy w trójkątach z d1 i d2. Z tw. Pitagorasa obliczamy przekątne graniastosłupa.