Matematyka dla liceum/Wielomiany/Nierówności wielomianowe

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady

edytuj

 , której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych.  , której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2).  , której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania

edytuj

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

  • Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.
  • Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
  • Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.
  • Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.
  • Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.
  • Formułujemy odpowiedź.


Przykładowo, rozwiążmy nierówność:  

  • Możemy ją przekształcić do postaci:   i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób:  
  • Pierwsze wyrażenie ( ) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż  ).
  •   drugiego wyrażenia wynosi 16 ( ), a jego miejscami zerowymi są liczby   i  . Wyrażenie to ma więc postać:
  •  

A cała nierówność ma postać:

 

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

        cała lewa strona nierówności
  + - - +
  + 0 - 0
  + + - -
  + + 0 0
  + + + +

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy