Matematyka dla liceum/Wielomiany/Nierówności wielomianowe

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady

$x^{2}+2>0$, której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. $x^{2}<4$, której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2). $x^{2}<0$, której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

• Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.

• Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

• Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.

• Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.

• Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.

• Formułujemy odpowiedź.

Przykładowo, rozwiążmy nierówność: $x^{4}+{\sqrt {20}}x^{3}+2x^{2}>-{\sqrt {20}}x-1$

• Możemy ją przekształcić do postaci: $x^{4}+{\sqrt {20}}x^{3}+2x^{2}+{\sqrt {20}}x+1>0$ i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób: $x^{4}+{\sqrt {20}}x^{3}+2x^{2}+{\sqrt {20}}x+1=x^{4}+{\sqrt {20}}x^{3}+x^{2}+x^{2}+{\sqrt {20}}x+1=(x^{2}+1)(x^{2}+{\sqrt {20}}x+1)$

• Pierwsze wyrażenie ($x^{2}+1$) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż $\Delta <0$).

• $\Delta$ drugiego wyrażenia wynosi 16 (${\sqrt {20}}^{2}-4$), a jego miejscami zerowymi są liczby ${\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}}$ i ${\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}}$. Wyrażenie to ma więc postać:

• $x^{2}+{\sqrt {20}}x+1=(x-{\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}})(x-{\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}})$

A cała nierówność ma postać:

$(x^{2}+1)(x-{\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}})(x-{\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}})>0$

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

	$x^{2}+1$	$x-{\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}}$	$x-{\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}}$	cała lewa strona nierówności
$x\in (-\infty ,{\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}})$	+	-	-	+
$x={\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}}$	+	0	-	0
$x\in ({\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}},{\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}})$	+	+	-	-
$x={\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}}$	+	+	0	0
$x\in ({\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}},\infty )$	+	+	+	+

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy $x\in (-\infty ,{\frac {{\sqrt {20}}-4}{2}})\cup ({\frac {{\sqrt {20}}+4}{2}},\infty )$