Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Podsumowanie

Podsumowanie

Funkcja to sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

• grafu
• wykresu
• wzoru
• tabelki
• opisu słownego

Dziedzina funkcji jest to zbiór wszystkich argumentów zmiennej (np. x), dla której funkcja ma sens.

Wyznaczając dziedzinę należy pamiętać o tym, że: w mianowniku nie może być 0, a pod pierwiastkiem nie może znajdować się liczba ujemna.

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Miejsce zerowe funkcji jest to punkt przecięcia wykresu z osią X.

Funkcja rosnąca

Funkcję $f\colon X\to R$ nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_{1}\,$ , $x_{2}\,$ $\in$ $X\,$ zachodzi:

$x_{1}<x_{2}\implies f(x_{1})<f(x_{2})$

Funkcja malejąca

Funkcję $f\colon X\to R$ nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_{1}\,$ , $x_{2}\,$ $\in$ $X\,$ zachodzi:

$x_{1}<x_{2}\implies f(x_{1})>f(x_{2})$

Funkcja stała

Funkcja jest stała, gdy dla każdego x: $f(x)=c\,$

Funkcja niemalejąca

Dla dowolnych argumentów $x_{1},x_{2}\,$:

$x_{1}<x_{2}\implies f(x_{1})\leqslant (x_{2})\,$

Funkcja nierosnąca

Dla dowolnych argumentów $x_{1},x_{2}\,$:

$x_{1}<x_{2}\implies f(x_{1})\geqslant (x_{2})\,$

Największa wartość funkcji

Funkcja $f:X\rightarrow Y$ przyjmuje wartość największą $y_{0}=f(x_{0})\,$ dla pewnego $x_{0}\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X$ zachodzi nierówność $f(x)\leq f(x_{0})$

Najmniejsza wartość funkcji

Funkcja $f:X\rightarrow Y$ przyjmuje wartość najmniejszą $y_{0}=f(x_{0})\,$ dla pewnego $x_{0}\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X$ zachodzi nierówność $f(x)\geq f(x_{0})$

Inne własności funkcji

• funkcja różnowartościowa
• funkcja parzysta
• funkcja nieparzysta
• okresowa

Podstawowe przekształcanie wykresu funkcji $y=f(x)\,$

• przesuwanie wykresu o wektor (translacja) ${\vec {u}}=[p,q]$ wzór - $y=f(x-p)+q\,$
• symetria względem osi OX - wzór $y=-f(x)\,$
• symetria względem osi OY - wzór $y=f(-x)\,$
• symetria względem układu współrzędnych - wzór $y=-f(-x)\,$
• nałożenie wartości bezwzględnej
• zmiana skali

Powinieneś umieć

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

1. na poziomie podstawowym:
   • powiedzieć czym jest funkcja, a także wykres funkcji
   • wyznaczyć dziedzinę funkcji
   • podać jaki jest zbiór wartości funkcji
   • wyznaczyć miejsce zerowe funkcji
   • wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale
   • podać monotoniczność funkcji
   • przesunąć wykres funkcji (translacja)
2. a na poziomie rozszerzonym:
   • powiedzieć czym jest funkcja różnowartościowa
   • funkcja parzysta, nieparzysta i okresowa
   • przekształcać wykres funkcji przez zmianę skali i przez symetrię