Metody numeryczne fizyki/Interpolacja

Interpolacja

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Zagadnienie interpolacji

Załóżmy, że mamy n+1 punktów x₀,x₁,...,x_n, co nazywamy węzłami interpolacji, w którym dla każdego x_i jest przyporządkowana pewna wartość, która jest pewną wartością funkcji, czyli y_i, co ogólnie możemy powiedzieć:

$f(x_{0})=y_{0},f(x_{1})=y_{1},..,f(x_{n})=y_{n}\;$

(1.1)

Przeprowadźmy pewną krzywą przechodzącej przez punkty (1.1), co nazywamy interpolacją, czyli znając te nasze punkty możemy policzyć wartość funkcji pomiędzy tymi punktami.

Zagadnienie interpolacji przy pomocy wielomianów

Będziemy szukali zagadnienia interpolacyjnego w postaci wielomianu przechodzącego poprzez te punkty, co ten wielomian jest stopnia n-tego, który to piszemy:

$W_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\;$

(1.2)

Zakładamy, że węzły znajdują się w dowolnym miejscu w przedziale <a,b>. Jeśli wykorzystamy wzór (1.1), wtedy możemy napisać n+1 równań, które to zapisane są w postaci układów równań, z którego będziemy wyznaczać parametry a₀,a₁,...,a_n.

${\begin{matrix}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+...+a_{n}x_{0}^{n}=y_{0}\\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{1}^{n}=y_{1}\\-----------\\a_{0}+a_{1}x_{n}+a_{2}x_{n}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\end{matrix}}\;$

(1.3)

Możemy wyznaczyć wyznacznik główny układu równań (1.3), który jest wyznacznikiem Vandermonde'a pisanych w postaci:

$W={\begin{vmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&x_{0}^{3}&\cdots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}&\cdots &x_{1}^{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &&\cdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&x_{n}^{3}&\cdots &x_{n}^{n}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})\neq 0\;$

(1.4)

Układ równań (1.3) nazywamy układem Cramera, których to współczynniki a_i wyliczamy ze wzoru Cramera w następującej postaci:

$a_{i}={{1} \over {D}}\sum _{i=1}^{n}y_{j}D_{ij}{\mbox{ gdzie: }}j=0,1,2,..,n\;$

(1.5)

Z twierdzenia Cramera istnieje taki wielomian (1.2) spełniający warunki (1.1).

Interpolacja według Lagrange'a

Jeśli wzór na a_i (1.5) podstawimy do wzoru na wielomian n-tego stopnia, w których poszczególne wielomiany bazowe są co najwyżej n-tego stopnia (1.2), otrzymujemy wtedy wzór na wielomian W_n(x):

$W_{n}(x)=y_{0}\Phi _{0}(x)+y_{1}\Phi _{1}(x)+...+y_{n}\Phi _{n}(x)\;$

(1.6)

• gdzie wielomiany Φ₀, Φ₁,...,Φ_n są wielomianami co najwyżej n-tego stopnia. Jeśli założymy, że węzły są rozłożone w dowolny sposób w danym ściśle określonym przedziale, to dla argumentu x=x_i funkcję (1.6) możemy napisać też w postaci zwartej i przy pomocy oznaczenia y_i=F(x_i), gdzie ta ostatnia jest funkcją interpolowaną w punktach x_i:

$W_{n}(x_{i})=y_{0}\Phi _{0}(x_{i})+y_{1}\Phi _{1}(x_{i})+...+y_{n}\Phi _{n}(x_{i})=\sum _{k=0}^{n}y_{k}\Phi _{k}(x_{i})=\sum _{k=0}^{n}F(x_{k})\Phi _{k}(x_{i})\;$

(1.7)

Z równania (1.7) wynika następująca własność, którą piszemy:

$\Phi _{j}(x_{i})={\begin{cases}0&{\mbox{ gdy }}j\neq i\\1&{\mbox{ gdy }}j=i\end{cases}}\;$

(1.8)

Teraz skonstruujmy wielomian Φ_j(x), który w punktach x₀,x₁,...,x_j-1,x_j+1,..,x_n jest określony według (1.8) dla wspomnianych węzłów jako:

$\Phi _{j}(x)=\lambda (x-x_{0})(x-x_{1})\cdot ...\cdot (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdot ....\cdot (x-x_{n})\;$

(1.9)

Równość (1.9), która przestawia funkcję Φ_j(x), w której możemy policzyć parametr λ, która zależy od węzłów przestawionych powyżej, z własności funkcji Φ(x) przestawionych w punkcie (1.8) możemy powiedzieć:

$1=\lambda (x_{j}-x_{0})(x_{j}-x_{i})\cdot ...\cdot (x-x_{j-1})(x_{j}-x_{j=1})\cdot ...\cdot (x_{j}-x_{n})\;$

(1.10)

Z wartości λ otrzymanego z tożsamości (1.10) jako odwrotności jedynki i wyrażenia zależnego od różnic pewnych węzłów i podstawieniu jego do równania (1.9), wtedy otrzymujemy równość na funkcję Φ_j:

$\Phi _{j}(x)={{(x-x_{0})(x-x_{i})\cdot ...\cdot (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdot ...\cdot (x-x_{n})} \over {(x_{j}-x_{0})(x_{j}-x_{i})\cdot ...\cdot (x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})\cdot ...\cdot (x_{j}-x_{n})}}\;$

(1.11)

Zatem całkowity wielomian interpolacyjny W_n(x) przestawionego w punkcie (1.6), na podstawie wyliczonej funkcji Φ_j(x) napisaną w punkcie (1.11), piszemy wedle schematu:

$W_{n}(x)=y_{0}{{(x-x_{1})(x-x_{2})\cdot ...\cdot (x-x_{n})} \over {(x_{0}-x_{1})...(x_{0}-x_{n})}}+y_{1}{{(x-x_{0})(x-x_{2})...(x-x_{n}))} \over {(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})...(x_{1}-x_{n})}}+...+\;$

$+y_{n}{{x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n-1})} \over {(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})...(x_{n}-x_{n-1}}}=\;$

$=\sum _{j=0}^{n}y_{i}{{(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_{n})} \over {(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_{n})}}\;$

(1.12)

Oznaczmy przez oznaczenie ω(x), który zależy od iloczynów różnic argumentu x i j-tego węzła w problemie interpolacyjnym:

$\omega _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n})\;$

(1.13)

Zatem wielomian W_n(x) (1.12) według przestawienia ω_n (1.13) jako wielomianu n+1-tego stopnia przepisujemy w postaci:

$W_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}y_{i}{{w_{n}(x)} \over {(x-x_{j})\left\{{{\omega _{n}(x)} \over {(x-x_{j})}}\right\}_{x=x_{j}}}}=\sum _{j=0}^{n}y_{i}{{\omega _{n}(x)} \over {(x-x_{j})\omega _{n}^{'}(x_{j})}}\;$

(1.14)

• gdzie ω'_n jest wielomian pochodzący od ω_n(x) w punkcie x=x_j, który jest zapisany bez użycia czynnika (x-x_j), która jest miejscem zerowym funkcji ω_n.

Otrzymany wzór (1.12) spełnia wszystkie warunki interpolacji i nazywamy go wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a.

Metoda interpolacyjna Aitkena

Zbudujmy teraz wielomian stopnia pierwszego w postaci wyznacznika, które w punktach x_i, x_j przyjmuje wartości y_i i y_j, którego definicja jest przestawiona dla dwóch węzłów interpolacyjnych:

$W_{i,j}(x)={{\begin{vmatrix}y_{i}&x_{i}-x\\y_{j}&x_{j}-x\end{vmatrix}} \over {x_{j}-x_{i}}}\;$

(1.15)

W oparciu o wielomian pierwszego stopnia (1.15), który zbudujemy jako wielomian drugiego stopnia, który w punktach x_i, x_j,x_k $(1\neq j\neq k)\;$ przyjmuje wartości y_i, y_j, y_k, który jest w postaci:

$W_{i,j,k}(x)={{\begin{vmatrix}W_{i,j}(x)&x_{j}-x\\W_{i,k}&x_{k}-x\end{vmatrix}} \over {x_{k}-x_{j}}}\;$

(1.16)

Ogólnie rzecz można powiedzieć, że wielomian n-tego stopnia przyjmujący dla argumentów x₁, x₂,...,x_n, określony koleino dla odpowiednich węzłów, której odpowiadają określone wartości y₁, y₂,...,,y_n, że jest to wielomian interpolacyjny przestawionych następującym wzorem interpolacyjnym dla wspomnianych węzłów:

$W_{1,2,..,k,m}={{\begin{vmatrix}W_{1,2,..k-1,k}(x)&x_{k}-x\\W_{1,2,...,k-1,m}(x)&x_{m}-x\end{vmatrix}} \over {x_{m}-x_{k}}}\;$

(1.17)

Wielomian otrzymany wychodząc od (1.15) i (1.16) piszemy jako wielomian (1.17) o stopniu n, który spełnia wszystkie warunki interpolacyjne dla węzłów interpolacyjnych oznaczonej ogólnie x_i.

Oszacowanie błędu dla problemu interpretacyjnego Lagrange'a

Zdefiniujmy sobie wielomian na przedziale <a,b>, który jest określony wzorem:

$\epsilon (x)=f(x)-W_{n}(x)\;$

(1.18)

Musimy dalej określić funkcję ε(x) mając na uwadze, że pochodna f(x) ma pochodne do rzędu n+1 włącznie, zatem teraz wprowadzamy funkcje pomocniczą z pewną stałą K:

$\varphi (u)=f(u)-W_{n}(u)-K(u-x_{0})(u-x_{1})....(u-x_{n})\;$

(1.19)

Z powodów oczywistych przy definicji φ(u) funkcja dla punktów x₀, x₁,..,x_n, które są węzłami w omawianym problemie interpolacyjnym, przyjmuje wartość zerową w tychże punktach. Współczynnik K bywa tak zwykle dobierany, by funkcja φ(u) miała również pierwiastek w punkcie ${\overline {x}}\;$, zatem tożsamość (1.19), z której wyliczymy K, jest wyrażana:

$K={{f({\overline {x}})-W_{n}({\overline {x}})} \over {({\overline {x}}-x_{0})({\overline {x}}-x_{1})...({\overline {x}}-x_{n})}}={{f({\overline {x}})-W_{n}({\overline {x}})} \over {\omega _{n}({\overline {x}})}}\;$

(1.20)

Mianownik w równości (1.19) jest zawsze nierówny zero, dla ${\overline {x}}\neq x_{i}\;$, tzn. $(x_{0}<x_{i}<...x_{n})\;$. Funkcja φ(u) ma n+2 miejsc zerowych w przedziale <a,b> dla punktów $x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n},{\overline {x}}\;$. Jeśli skorzystamy z twierdzenia Rolle'a możemy powiedzieć, że pierwsza pochodna funkcji (1.20) ma n+1 miejsc zerowych funkcji, każda pochodna pierwszego rzędu równa zero należy do odpowiednich przedziałów, w których każdy taki przedział posiada jedną pochodną równą zero. W każdym tak opisanej w przedziale, jeśli nań go na małe odcinki podzielimy między punktami interpolacyjnymi, w ten sposób otrzymujemy, że druga pochodna według naszego wcześniej wspomnianego wzoru przyjmuje wartość zerową w pewnym punkcie wewnątrz tego przedziału, a tych miejsc zerowych w całym omawianym przedziale jest n, wtedy dochodzimy do wniosku:

$\psi ^{''}(\xi _{0}^{(2)})=\psi ^{''}(\xi _{1}^{(2)})=....=\psi ^{''}(\xi _{n-1}^{(2)})=0\;$

(1.21)

Jeśli będziemy kontynuować nasze rozważania dochodzimy do wniosku, ze mamy conaj mniej jeden taki punkt, który mieści się w przedziale (min(x,x_0,),max(x,x_n)), dla którego zachodzi $\varphi ^{(n+1)}(\xi )=0\;$, natomiast jeśli mamy $W_{n}^{n+1}(x)=0\;$, ale i też n+1 pochodna funkcji ω, którą to piszemy wzorem $\omega _{n}^{(n+1)}(x)]=(n+1)!\;$, zatem n+1-ta pochodna funkcji (1.16), która na tej podstawie i wcześniejszych rozważań, zapisujemy wedle schematu:

$\varphi ^{(n+1)}(u)=f^{(n+1)}(u)-K(n+1)!\;$

(1.22)

I jeśli weźmiemy miejsce zerowe funkcji φ(u), które jest w punkcie ξ dla ⁽ⁿ⁺¹⁾ według wcześniejszych określeń jest równa zero, to wtedy z tożsamości (1.22) wynika wzór na parametr K dla ściśle określonych węzłów:

$K={{f^{(n+1)}(\xi )} \over {(n+1)!}}\;$

(1.23)

Jako ostatni krok należy wykorzystać równość (1.20) i wyliczoną stałą K przestawioną w punkcie (1.23), wtedy mamy następujący wzór na różnicę funkcji, z którego chcemy napisać interpolację W_n(x) i funkcji, którą chcemy interpolować, tzn.: f(x), wtedy możemy napisać tożsamość używając tutaj zamiast ${\overline {x}}\;$ symbol x:

$f(x)-W_{n}(x)={{f^{(n+1)}(\xi )} \over {(n+1)!}}\omega _{n}(x)\;$

(1.24)

Przyjmijmy teraz jako maksimum funkcji f⁽ⁿ⁺¹⁾ w przedziale <a,b>, jeśli w ogóle w tym przedziale istnieje jego maksimum, które oznaczmy je przez M_n+1, tą wartość funkcji oznaczamy jako:

$M_{n+1}=\sup _{x\in \langle a,b\rangle }|f^{(n+1)}(x)|\;$

(1.25)

Bezwzględny błąd opisywania funkcji f(x) w postaci wielomianów W_n(x) jest to wzór napisanych na podstawie (1.25) i (1.24), który piszemy:

$|f(x)-W_{n}(x)|\leq {{M_{n+1}} \over {(n+1)!}}|\omega _{n}(x)|\;$

(1.26)

Problem najlepszego wyboru węzłów interpolacji

Problem najlepszego wyboru wezłów interpolacji po raz pierwszy przestawił Czybyszew, który to wielomiany Czybyszewa przestawiamy wedle wzoru na przedziale <-1,1>:

$T_{n}=\cos(n\operatorname {arccos} (x))\;$

(1.27)

Jak sie okazuje, że wielomiany Czybyszewa dla pierwszych jego wyrazów przestawiamy:

• $T_{0}=\cos(0\cdot \operatorname {arccos} (x))=\cos(0)=1\;$
• $T_{1}(x)=\cos(\operatorname {\arccos } (x))=x\;$
• $T_{2}(x)=\cos(2\cdot \operatorname {arccos} (x))=2\cos ^{2}(\operatorname {arccos} (x))-1=2x^{2}-1\;$

....

A jego kolejne wyrazy są przestawione wzorem na wielomian Czybyszewa, który to związek iteracyjny przestawiony jest w zależności od liczby naturalnej n jako wskaźnika i od argumentu x:

$T_{n}(x)=2xT_{n-1}-T_{n-2}{\mbox{ n=2,3,4,...}}\;$

(1.28)

Wielomian Czybyszewa (1.27) jak można wykazać ma pierwiastki w punktach x_n, które to są zależne od liczby naturalnej m i n, które to pierwiastki po podstawieniu wzoru poniższego do (1.27) daje nam wartość zerową funkcji T_n(x), zatem:

$x_{n}=\cos \left({{2m+1} \over {2n}}\pi \right)\;$

(1.29)

A dowodem tego, że liczby (1.29) są pierwiastkami równania (1.27) jest dokonanie do niego podstawienia wspomnianych liczb, tzn. x_n, co po dokonaniu obliczeń otrzymujemy zero:

$T_{n}=\cos \left(n\cdot \operatorname {arccos} (x_{n})\right)=\cos \left(n\cdot \operatorname {arccos} \left(\cos \left({{2m+1} \over {2n}}\pi \right)\right)\right)=\cos \left(n{{2m+1} \over {2n}}\pi \right)=\cos \left(m+{{1} \over {2}}\right)=0\;$

(1.30)

Parząc na kolejne wyrazy przedstawione w punkcie (1.28), to one mają przy najwyższej potędze wartość 2^n-1, zatem szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze będzie miał wartość jeden, zatem na podstawie tego możemy napisać wielomian, który to (1.27) ma pierwiastki w punktach (1.29), zatem na podstawie tego możemy napisać równość po podzieleniu wielomianu T_n(x) przez liczbę 2ⁿ, wtedy:

$T_{n+1}^{*}(x)={{1} \over {2^{n}}}T_{n+1}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\cdot ...\cdot (x-x_{n})\;$

(1.31)

zatem wielomian $\omega _{n}(x)\;$ na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.31), który to w punktach (1.29) ma pierwiastki, możemy przestawić według następującego sposobu:

$\omega _{n}(x)={{1} \over {2^{n}}}T_{n+1}(x)\;$

(1.32)

co wówczas na podstawie, że wielomian Czybyszewa (1.27), który ma ograniczoną wartość leżącą między wartościami <-1,1>, co możemy napisać:

$\sup _{x\in (-1,1)}|\omega _{n}(x)|={{1} \over {2^{n}}}\;$

(1.33)

Ograniczenia przedziału błędów między szukanym wielomianem W_n(x), a funkcją interpolowaną f(x) (1.26), możemy przedstawić wykorzystując fakt ograniczenia wielomianu ω_n(x), zatem ten nasz błąd bezwzględny przy liczeniu wartości funkcji przy pomocy funkcji interpolującej względem samej funkcji interpolowanej możemy przestawić według:

$|f(x)-W_{n}|\leq {{M_{n+1}} \over {2^{n}(n+1)!}}\;$

(1.34)

Wzór interpolacyjny Newtona dla dowolnych odstępu argumentu

Określmy teraz funkcję f(x), określone dla tablicy x₀, x₁,..,x_n, które są węzłami interpolacji, a natomiast punkty odpowiadająca tym węzłom są to wartości f(x₀), f(x₁), f(x₂),.. f(x_n), zatem zdefiniujmy teraz ilorazy różnicowe:

$f(x_{i-1};x_{i})={{f(x_{i})-f(x_{i-1})} \over {x_{i}-x_{i-1}}}\;$

(1.35)

Iloraz różnicowy drugiego rzędu, który to piszemy przy pomocy ilorazów różnicowych pierwszego rzędu, wygląda:

$f(x_{i};x_{i+1};x_{i+2})={{f(x_{i+1};x_{i+2})-f(x_{i};x_{i+1})} \over {x_{i+2}-x_{i}}}\;$

(1.36)

Dla dowolnego ilorazu różnicowego n-tego rzędu, który to piszemy przy pomocy ilorazów różnicowych n-1 rzędu, mamy:

$f(x_{i};x_{i+1};x_{i+2};..;x_{i+n})={{f(x_{1};x_{2};...x_{i+n})-f(x_{1};x_{2};...,x_{i+n-1})} \over {x_{i+n}-x_{i}}}\;$

(1.37)

Napiszmy teraz wielomian interpolacyjny W_n, który to spełnia następujący warunek interpolacyjny poniżej, czyli wartość funkcji f w punkcie x_i jest równa funkcji, której jest funkcją interpolacyjną W_n, też w tym samym punkcie, którą to piszemy wedle schematu ogólnie:

$W_{n}(x_{i})=f(x_{i}),{\mbox{ dla }}i=0,1,2,...,n\;,$

(1.38)

Zapiszmy teraz wielomian interpolacyjny W_n(x) rozpisując ją jako tożsamość, która jest sumą różnic wielomianu W_i(x) i W_i-1(x), co do całego wielomianu dodamy funkcję W₀(x), wtedy taki przebieg rozważań sugeruje, że ona jest funkcją W_n(x), którą to możemy zapisać do postaci:

$W_{n}(x)=W_{0}(x)+[W_{1}(x)-W_{0}(x)]+[W_{2}(x)-W_{1}(x)]+...+[W_{n}-W_{n-1}]\;$

(1.39)

Oczywiste jest, że wielomian W_k-W_k-1(x) jest różnicą rozważanych wielomianów, który jest iloczynem stałej A przez iloczyn różnić argumentu x i argumentu x_i dla całej gamy węzłów od i=0 do i=k-1, wtedy:

$W_{k}(x)-W_{k-1}(x)=A(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k-1})\;$

(1.40)

• gdzie A jest pewna stałą, aby je obliczyć należy wykorzystując wzór (1.38) i podstawić x_k do (1.40) wykorzystując fakt (1.14) na wielomian interpolacyjny Lagrange'a, wtedy na podstawie tego możemy powiedzieć:

$A={{f(x_{k})} \over {(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})...(x_{k}-x_{k-1})}}-{{\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i}){{\omega _{k-1}(x_{k})} \over {(x_{k}-x_{i})\omega _{k-1}^{'}(x_{i})}}} \over {(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})...(x_{k}-x_{k-1})}}\;$

(1.41)

Wzór (1.41) z oczywistych powodów na podstawie tożsamości na wielomian ω_k, według wzoru (1.13), przyjmuje postać:

$A={{f(x_{k})} \over {\omega _{k-1}(x_{k})}}+\sum _{i=0}^{k-1}{{f(x_{i})} \over {(x_{k}-x_{i})\omega _{k-1}^{'}(x_{i})}}=\sum _{i=0}^{k}{{f(x_{i})} \over {\omega _{k}(x_{i})}}\;$

(1.42)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.42) różnica wielomianów dla k i k-1, czyli według wzoru (1.40), jest zapisana dla dowolnego argumentu x tejże funkcji:

$W_{k}(x)-W_{k-1}(x)=\left(\sum _{i=0}^{k}{{f(x_{i})} \over {\omega _{k}(x_{i})}}\right)\omega _{k-1}(x)\;$

(1.43)

Jeśli chcemy zapisać (1.37) w postaci dogodnej używając ilorazów różnicowych, to iloraz różnicowy rzędu n przedstawiamy:

$f(x_{i};x_{i+1};...;x_{i+n})={{f(x_{i})} \over {(x_{i}-x_{i+1})(x_{i}-x_{i+2})...(x_{i}-x_{i+n})}}+\;$
${{f(x_{i})} \over {(x_{i+1}-x_{i})(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+n})}}+...+\;$
${{f(x_{i+n})} \over {(x_{i+n}-x_{i})(x_{i+n}-x_{i+1})...(x_{i+n}-x_{i+n-1})}}$

(1.44)

Wzór (1.34) możemy udowodnić metodą indukcji zupełnej, którego dla n=1 ten etap dowodu piszemy w postaci poniżej, jak się przekonamy, że wspomniany wzór pokrywa się ze wzorem powyżej dla przypadku n=1, zatem na podstawionych tych wypowiedzeń mamy:

$f(x_{i};x_{i+1})={{f(x_{i+1})-f(x_{i})} \over {x_{i+1}-x_{i}}}={{f(x_{i})} \over {x_{i}-x_{i+1}}}+{{f(x_{i+1})} \over {x_{i+1}-x_{i}}}\;$

(1.45)

Teraz dokonajmy następnej części dowodu i sprawdźmy, czy z części dowodu dla n=k-1 wynika dowód n=k, wtedy:

$f(x_{i};x_{i+1};x_{i+2};..x_{n+k})={{f(x_{i+1};x_{i+2};...x_{i+k})-f(x_{i};x_{i+1};...;x_{i+k-1})} \over {x_{i+k}-x_{i}}}=\;$
$={{1} \over {(x_{i+k}-x_{i})}}{\Bigg \{}{\Bigg [}{{f(x_{i+1})} \over {(x_{i+1}-x_{i+2})(x_{i+1}-x_{i+3})...(x_{i+1}-x_{i+k})}}+\;$
$+{{f(x_{i+2}} \over {(x_{i+2}-x_{i+1})(x_{i+2}-x_{i+3})...(x_{i+k}-x_{i+k-1})}}+...+\;$
$+{{f(x_{i+k})} \over {(x_{i+k}-x_{i+1})(x_{i+k}-x_{i+2})...(x_{i+k}-x_{i+k-1})}}{\Bigg ]}-\;$
$-{\Bigg [}{{f(x_{k})} \over {(x_{i}-x_{i+1})(x_{i}-x_{i+2})...(x_{i}-x_{i+k-1})}}+\;$
$+{{f(x_{i})} \over {(x_{i+1}-x_{i})(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+k-1})}}+\;$
$+{{f(x_{i+1})} \over {(x_{i+1}-x_{i})(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+k-1})}}+...+\;$
$+{{f(x_{i+k-1})} \over {(x_{i+k-1}-x_{k})(x_{i+k-1}-x_{i+1})...(x_{i+k-1}-x_{i+k-1})}}{\Bigg ]}{\Bigg \}}$

(1.46)

W przeprowadzonych obliczeń w punkcie (1.46) możemy uzyskać taką prawidłowość, że wyrazy stojące przy f(x_i) oraz f(x_i+k) występują tylko jeden raz, Natomiast składniki zawierające czynnik f(x_i) dla j=i+1,i+2,..,i+k-1 występują parami, zatem rozpisując te pary, możemy powiedzieć:

${{1} \over {(x_{i+k}-x_{i})}}{\Bigg [}{{f(x_{i})} \over {(x_{j}-x_{i+1})(x_{j}-x_{i+2})...(x_{j}-x_{j-1})...(x_{j}-x_{i+k})}}-\;$
$-{{f(x_{i})} \over {(x_{j}-x_{i})(x_{j}-x_{i+12})..(x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})...(x_{i}-x_{j+k-1})}}{\Bigg ]}=$
$={{f(x_{i})} \over {(x_{j}-x_{i})...(x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})..(x_{j}-x_{j+k-1})}}\cdot \;$
$\cdot {{1} \over {(x_{i+k}-x_{i})}}\left[{{1} \over {x_{j}-x_{i+k}}}-{{1} \over {x_{j}-x_{i}}}\right]=\;$
$={{f(x_{j})} \over {(x_{j}-x_{i})(x_{i}-x_{i+})...(x_{j}-x_{i+1})(x_{j}-x_{j+1})...(x_{j}-x_{i+k})}}\;$

(1.47)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.47) i (1.46) udowodniliśmy za pomocą indukcji matematycznej, że wyrazy pod sumą w (1.43) możemy przestawić je jako ilorazy różnicowe do następującej postaci:

$f(x_{1};x_{2};...;x_{i+k})=\sum _{j=1}^{j=i+k}{{f(x_{j})} \over {(x_{j}-x_{i})(x_{j}-x_{i+1})...(x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})..(x_{j}-x_{i+k})}}\;$

(1.48)

Przy dalszych rozważaniach skorzystamy ze wzoru (1.43), i (1.48) dla przypadku i=0 , a także z W₀(x₀)=f(x₀), co według przedstawienia (1.14) można zapisać wielomian W_n(x):

$W_{n}(x)=f(x_{0})+f(x_{0};x_{1})\omega _{0}(x)+f(x_{0};x_{1};x_{2})\omega _{1}(x)+...f(x_{0};x_{1};...x_{n})\omega _{n-1}(x)\;$

(1.49)

Wzór interpolacyjny (1.49) możemy zapisać w postaci interpolacyjnej, który ma nazwę wzoru interpolacyjnego Netwona dla dowolnych odstępów dla węzłów lub wzoru interpolacyjnego Newtona z ilorazem różnicowym.

Różnice progresywne i wsteczne

Wezły w sieci w poprzednich rozważaniach mogły być całkowicie dowolne, tzn. węzły: x₀, x₁, ...,x_n. Tym razem wybierzemy węzły, które są napisane:

$x_{1}=x_{0}+h{\mbox{, }}x_{2}=x_{0}+2h{\mbox{,...}}x_{n}=x_{0}+nh\;$

(1.50)

Różnice progresywne

Niech będą określone wartości funkcji f(x) w punktach x₀,x₁,...,x_n określone wzorami według punktu (1.50), zatem różnica progresywną pierwszego rodzaju piszemy według schematu:

$\Delta f=f(x+h)-f(x)\;$

(1.51)

Aby zdefiniować różnice progresywne wyższych rzędów należy określić tożsamość, która jest zdefiniowana przy pomocy kilku operatorów różnic:

$\Delta ^{n}f=\Delta (\Delta ^{n-1}f)\;$

(1.52)

Przykładem różnicy drugiego rzędu nazywamy różnicę przy wykorzystaniu wzoru (1.52) określoną wzorem:

$\Delta ^{2}f=\Delta (\Delta f)=\Delta [f(x+h)-f(x)]=[f(x_{2}h)-f(x+h)]-f(x+h)-f(x)=\;$
$=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\;$

(1.53)

Ogólnie rzecz biorąc możemy obrać wartości y₀, y₁,..,y_n, wtedy n-ta różnica elementu ciągu y_i określamy:

$\Delta ^{n}y_{i}={n \choose 0}y_{i+n}-{n \choose 1}y_{i+n-1}+{n \choose 2}y_{i+n+2}-...-(-1)^{n}{n \choose n-1}y_{i+1}+...+(-1)^{n}{n \choose n}y_{i}\;$

(1.54)

Co wyrażenie (1.54) możemy napisać w formie bardzo uproszczonej, używając definicji sumy, w postaci:

$\Delta ^{n}y_{i}=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}y_{i+n-j}\;$

(1.55)

Teraz wzór (1.54) udowodnimy przy pomocy indukcji matematycznej, co dla n=1 powyższy wzór przechodzi w tożsamość:

$\Delta ^{1}y_{i}=\Delta y_{i}=(-1)^{0}{1 \choose 0}y_{i+1}+(-1)^{1}{1 \choose 1}y_{i}=y_{i+1}-y_{i}\;$

(1.56)

Co wzór (1.54) na podstawie jej szczególnego przypadku (1.55), czyli dla n=1, czyli on się pokrywa ze wzorem (1.51). Teraz udowodnijmy wzór (1.55), ze jeśli ten nasz wzór jeśli jest prawdziwy dla n, to jest prawdziwy dla n+1, wtedy możemy powiedzieć:

$\Delta ^{n+1}y_{i}=\Delta \Delta ^{n}y_{i}=\Delta \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}y_{i+n-j}\right)=\;$
$=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}y_{i+n-j+1}-\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}y_{i+n-j}=\;$
$=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}y_{i+n+1-j}+\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j}{n \choose j-1}y_{i+n+1-j}=\;$
$=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}y_{i+n+1-j}+\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{n \choose j-1}y_{i+n+1-j}+{n \choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n \choose n}y_{i}=\;$
$\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}\left[{n \choose j}+{n \choose j-1}\right]y_{i+n+1-j}+{n+1 \choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n+1 \choose n+1}y_{i}=\;$
$=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{n+1 \choose j}y_{i+n+1-j}+{n+1 \choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n+1 \choose n+1}y_{i}=\;$
$=\sum _{j=0}^{n+1}(-1)^{j}{n+1 \choose j}y_{i+n+1-j}$

(1.57)

Co kończy dowód twierdzenia (1.54) na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.57) i (1.56). Następny bardzo ważnym twierdzeniem jest twierdzenie podane przy pomocy wzoru na element y_k przy pomocy k-tych rzędów różnic progresywnych:

$y_{k}=y_{0}+{k \choose 1}\Delta y_{0}+{k \choose 2}\Delta ^{2}y_{0}+...+{k \choose k}\Delta ^{k}y_{0}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}\Delta ^{i}y_{0}\;$

(1.58)

Aby udowodnić wzór (1.58) należy wykorzystać twierdzenie o indukcji matematycznej. Wedle twierdzenia od indukcji zupełnej sprawdźmy dla k=0, zatem dla tego nasz wzór wspomniany przechodzi w wzór, który jest zwykłą tożsamością. Sprawdźmy, czy jeśli nasz wzór (1.58) jest prawdziwy dla k, to czy z niego wynika prawdziwość dla k+1, w tym celu napiszmy do niego wyrażenie:

$y_{k+1}=y_{k}+\Delta y_{k}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}\Delta ^{i}y_{0}+\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}\Delta ^{i+1}y_{0}=\;$
$=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}\Delta ^{k}y_{0}+\sum _{i=1}^{k+1}{k \choose i-1}\Delta ^{k}y_{0}=\;$
$=\sum _{i=1}^{k}\left[{k \choose i}+{k \choose i-1}\right]\Delta ^{i}y_{0}+{k+1 \choose 0}\Delta y_{0}+{k+1 \choose k+1}\Delta ^{k+1}y_{0}=\;$
$=\sum _{i=1}^{k}{k+1 \choose i}\Delta ^{i}y_{0}+{k+1 \choose 0}\Delta y_{0}+{k+1 \choose k+1}\Delta ^{k+1}y_{0}=\sum _{i=0}^{k+1}{k+1 \choose i}\Delta ^{i}y_{0}$

(1.59)

Pewne dowody ważnych twierdzeń na różnicach progresywnych

Najpierw podamy pewne trzy twierdzenia bez dowodu, których to dowody są trywialne, oto twierdzenia:

$\Delta (g_{k}\pm f_{k})=\Delta g_{k}\pm \Delta f_{k}\;$

(1.60)

$\Delta (af_{k})=a\Delta f_{k}\;$

(1.61)

$\Delta ^{m}(\Delta ^{n}f_{k})=\Delta ^{m+n}f_{k}\;$

(1.62)

Teraz podamy następne twierdzenia, którego dowód w cale nie jest trywialny, zatem to pierwsze twierdzenie piszemy wedle schematu:

$\Delta [f_{k}\cdot g_{k}]=f_{k+1}\Delta g_{k}+g_{k+1}\Delta f_{k}\;$

(1.63)

A jego dowód przeprowadzamy w sposób następujący:

$\Delta [f_{k}\cdot g_{k}]=f_{k+1}g_{k+1}-f_{k}g_{k}=f_{k+1}g_{k+1}-f_{k}g_{k}+f_{k+1}g_{k}-f_{k+1}g_{k}=\;$
$=f_{k+1}(g_{k+1}-g_{k})+g_{k}(f_{k+1}-f_{k})=f_{k+1}\Delta g_{k}+g_{k+1}\Delta f_{k}\;$

(1.64)

Teraz podamy następne twierdzenia, którego dowód w cale nie jest trywialny, zatem to pierwsze twierdzenie piszemy wedle następującego schematu:

$\Delta {{f_{k}} \over {g_{k}}}={{\Delta f_{k}g_{k}-f_{k}\Delta g_{k+1}} \over {g_{k+1}g_{k}}}\;$

(1.65)

A jego dowód, który przeprowadzamy w sposób następujący:

$\Delta {{f_{k}} \over {g_{k}}}={{f_{k+1}} \over {g_{k+1}}}-{{f_{k}} \over {g_{k}}}={{f_{k+1}g_{k}-f_{k}g_{k+1}} \over {g_{k+1}g_{k}}}={{f_{k+1}g_{k}-f_{k}g_{k}+f_{k}g_{k}-f_{k}g_{k+1}} \over {g_{k+1}g_{k}}}=\;$
$={{(f_{k+1}-f_{k})g_{k}-f_{k}(g_{k+1}-g_{k}))} \over {g_{k+1}g_{k}}}={{\Delta f_{k}g_{k}-f_{k}\Delta g_{k}} \over {g_{k+1}g_{k}}}\;$

(1.66)

Różnice wsteczne

Różnice wsteczne przyjęło się oznaczać jako pierwszą różnice progresywną w punkcie x_i-1, którego zapis tejże rozważanej różnicy piszemy:

$\nabla f_{i}=f_{i}-f_{i-1}\;$

(1.67)

Katą różnicę wsteczną przyjęło się rozważać jaką różnicę według (1.67), którą piszemy:

$\nabla ^{k}y_{i}=\nabla ^{k-1}y_{i}-\nabla ^{k-1}y_{i-1}\;$

(1.68)

Twierdzenie, które będziemy podawać i udowodniać poniżej jest to twierdzenie:

$\nabla ^{k}y_{i}=\Delta ^{k}y_{i-k}\;$

(1.69)

Twierdzenie (1.69) udowadniamy przy pomocy indukcji zupełnej, zatem dla k=0 wspomniane twierdzenie można udowodnić, co jest trywialne, zatem nasze twierdzenie dla tego k jest prawdziwe. Załóżmy teraz, że nasze twierdzenie (1.69) jest prawdziwe dla k i udowodnimy, że jest ono słuszne dla k+1, zatem wtedy możemy powiedzieć:

$\nabla ^{k+1}y_{i}=\nabla \nabla ^{k}y_{i}=\nabla \Delta _{i-k}^{k}y_{i}=\Delta _{i-k}^{k}y_{i}-\Delta _{i-(k+1)}^{k}y_{i}=\Delta ^{k+1}y_{i-(k+1)}\;$

(1.70)

Równanie interpolacyjne Newtona dla jednakowych różnic argumentów

W punkcie (1.49) napisaliśmy wzór interpolacyjnego Newtona, w której występują pewne wielkości (1.39), dla węzłów ogólnie o różnych odstępach, które tutaj będziemy pisali ten wzór dla jednakowych ostępów dla punktów x_i=x₀+ih, gdzie i=0,1,2,..,n. Na podstawie tego napiszemy teraz ilorazy różnicowe, które to są dla naszego przypadku:

$f(x_{0})=a_{0}=y_{0}\;$

$f(x_{0};x_{1})=a_{1}={{y_{1}-y_{0}} \over {h}}\;$
$f(x_{0};x_{1};x_{2})=a_{2}={{{{y_{2}-y_{1}} \over {h}}-{{y_{1}-y_{0}} \over {h}}} \over {2h}}={{y_{1}-2y_{i}+y_{0}} \over {2h^{2}}}\;$
${\mbox{----------------}}$

$f(x_{0};...;x_{n})={{y_{n}-ny_{n-1}+{n \choose 2}y_{n-2}-...+(-1)^{n}y_{n}} \over {n!h^{n}}}\;$

(1.71)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.71) ilorazy różnicowe o numerze "k" definiujemy jako iloraz różnicy k-tej zmiennej y₀ przez iloczyn k silni i k-tej potęgi stałej:

$a_{k}={{\Delta ^{k}y_{0}} \over {k!h^{k}}}\;$

(1.72)

Wzór (1.71) udowadniamy przy pomocy twierdzenia o indukcji zupełnej, zatem dla k=0 wzór (1.72) przyjmuje postać, którą jest wartość funkcji y₀, zatem wtedy $a_{0}={{\Delta ^{0}y_{0}} \over {0!h^{0}}}=y_{0}\;$. Następnym krokiem jest stwierdzenie, że wzór (1.72) jest prawdziwy, i udowodniamy tą równość dla k+1, zatem do dzieła.

$a_{k+1}={{{{\Delta ^{k}y_{1}} \over {h^{k}k!}}-{{\Delta ^{k}y_{0}} \over {h^{k}k!}}} \over {h(k+1)}}={{\Delta ^{k}y_{1}-\Delta ^{k}y_{0}} \over {h^{k}(k+1)!}}={{\Delta ^{k+1}y_{0}} \over {h^{k}(n+1)}}\;$

(1.73)

Jeśli podstawimy wzór (1.72), który jest ilorazem różnicowym, do równości (1.49). który jest ilorazem różnicowym, w ten sposób otrzymujemy następującą tożsamość na wzór interpolacyjny Newtona wykorzystując definicję różnicy dowolnego rzędu i wiedząc, że różnica między dowolnymi a sąsiednimi wyrazami jest równa h:

$W_{n}(x)=y_{0}+{{\Delta y_{0}} \over {h}}(x-x_{0})+{{\Delta ^{2}y_{0}} \over {2!h^{2}}}(x-x_{0})(x-x_{1})+...+{{\Delta ^{n}y_{0}} \over {n!h^{n}}}(x-x_{0})(x-x_{1})..(x-x_{n-1})\;$

(1.74)

Wprowadźmy teraz nową zmienną q, którą to definiujemy jako iloraz różnicy x i x₀ przez liczbę h, który jest odległością między punktami sąsiednimi, to zmienną q piszemy:

$q={{x-x_{0}} \over {h}}\;$

(1.75)

Ale też zachodzą następujące tożsamości (1.75), które są ilorazami różnicy zmiennej x i węzła o numerze i-tym przez stałą odległość pomiędzy punktami, które to piszemy:

${{x-x_{1}} \over {h}}={{x-(x_{0}+h)} \over {h}}=q-1\;$

${{x-x_{2}} \over {h}}={{x-(x_{0}+2h)} \over {h}}=q-1\;$
$...................\;$

${{x-x_{n-1}} \over {h}}={{x-[x_{0}+(n-1)h]} \over {h}}=q-(n-1)\;$

(1.76)

Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.76), który to wynika z definicji zmiennej q zdefiniowanej w punkcie (1.75), wtedy możemy napisać tożsamość (1.74):

$W_{n}(x_{q})=W_{n}(x_{0}+qh)=y_{0}+{{q} \over {1!}}\Delta y_{0}+{{q(q-1)} \over {2!}}\Delta ^{2}y_{0}+...+\;$
$+{{q(q-1)} \over {2!}}\Delta ^{2}y_{0}+...+{{q(q-1)...(q-n+1)} \over {n!}}\Delta ^{n}y_{0}\;$

(1.77)

Jeśli znów skorzystamy ze wzoru (1.74) i wzoru na różnice wsteczna w zależności od różnic progresywnych (1.69) i zmieniając numeracje z x_i na x_i-n bo interesuje nas zachowanie funkcji w końcowej części przedziału, tzn. że na pewno numerujemy argumenty w taki sposób by ich numeracja była od tyłu, możemy powiedzieć:

$W_{n}(x)=y_{0}+{{\nabla y_{0}} \over {h}}(x-x_{0})+{{\nabla ^{2}y_{0}} \over {2!h^{2}}}(x-x_{0})(x-x_{-1})+..+\;$
$+{{\nabla ^{n}y_{0}} \over {n!h^{n}}}(x-x_{0})(x-x_{-1})...(x-x_{-n+1})\;$

(1.78)

Jeśli przyjmować będziemy x_i=x₀+ih, dla i=0,-1,-2,..-n, a także przyjmować będziemy, że zmienna q jest ilorazem różnicy węzła zerowego i zmiennej x przez stałą odległość pomiędzy punktami:

$q={{x_{0}-x} \over {h}}\;$

(1.79)

To wtedy wykonując podobne obliczenia jak w punkcie (1.76), to wtedy wzór (1.78), na podstawie definicji zmiennej q (1.79), piszemy w następującej postaci:

$W_{n}(x)=y_{0}-q\nabla y_{0}+{{q(q-1)} \over {2}}\nabla ^{2}y_{0}-...+(-1)^{n}{{q(q-1)(q-2)...(q-n+1)} \over {n!}}\nabla ^{n}y_{0}\;$

(1.80)

Wzór (1.80) nazywamy drugim wzorem interpolacyjnym Newtona na interpolację wstecz.

Interpolacja przy pomocy funkcji sklejanych

Wstęp do funkcji sklejanych

Określmy sobie teraz n+1 punktów x₀, x₁, x₂,..x_n dla której zachodzi:

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b\;$

(1.81)

Funkcję s(x) będziemy określać jako funkcję sklejaną stopnia ($m\geq 1$), jeżeli w każdym z tych przedziałów funkcja jest stopnia m, a także wartości tychże funkcji należą do wartości liczb zespolonych. Na każdym z tych przedziałów (x_i,x_i+1) i=0,1,2,..,n-1 określmy teraz funkcję sklejaną w postaci:

$s(x)=c_{im}x^{m}+c_{im-1}x^{m-1}+...+c_{i1}x+c_{i0}\;$

(1.82)

Ponieważ współczynników c_im dla ściśle określonego jest m+1, a ponieważ tych naszych przedziałów jest n określonych według (1.81), zatem liczba wszystkich współczynników c_ik jest n(m+1). Jeśli teraz określimy pochodną funkcji s(x), to liczba współczynników określonej przez "i" jest ich m, bo stała c_i0 w tej pierwszej pochodnej znika, a w każdym węźle x_i dla i=1,2,..,n określamy według m(n-1) warunków brzegowych, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć, że funkcja s(x) zależy od n(m+1)-m(n-1)=nm+n-mn+m=n+m zmiennych . Określmy teraz funkcję s(x) jako funkcję potęgową, dla której z oczywistych powodów zachodzi x_i=x₀+ih dla i=-1,0,1,..,n,n+1, określmy dodatkowo i=-3,-2,-1,n,n+1,n+2,n+3. Zatem na podstawie tego możemy zbudować pewną funkcję sklejaną, który to przepisujemy wzorami:

$\Phi _{i}^{3}(x)={{1} \over {h^{3}}}{\begin{cases}(x-x_{i-2})^{2}&{\mbox{ dla }}x\in \langle x-x_{i-1}\rangle \\h^{3}+3h^{2}(x-x_{i-1})+3h(x-x_{i-1})^{2}-3(x-x_{i-1})^{3}&{\mbox{ dla }}x\in \langle x_{i-1};x_{i}\rangle \\h^{3}+3h^{2}(x_{i+1}-x)+3h(x_{i+1}-x)^{2}-3(x_{i+1}-x)^{3}&{\mbox{ dla }}x\in \langle x_{i};x_{i+1}\rangle \\(x_{i+2}-x)^{3}&{\mbox{ dla }}x\in \langle x_{i+i};x_{i+2}\rangle \\0&{\mbox{ dla pozostałych }}x\in R\end{cases}}\;$

(1.83)

(Rys. 1.1) Splot funkcji Φ₃ⁱ(x)

Wykresem ogólnym funkcji (1.83) jest funkcja podana obok na prawej jego stronie tego modułu. Teraz określmy funkcję $\Phi _{i}^{3}(x)\;$ w punktach x_j-2, x_j-1,x_i, x_i+1,x_i+2 i wartości tej funkcji (1.83) w tymże punktach określamy przy pomocy tabelki poniżej.

	$x_{i-2}\;$	$x_{i-1}\;$	$x_{i}\;$	$x_{i+1}\;$	$x_{i+2}\;$
$\Phi _{i}^{3}(x)\;$	0	1	4	1	0
$(\Phi _{i}^{3}(x))^{'}\;$	0	${{3} \over {h}}\;$	0	$-{{3} \over {h}}\;$	0
$(\Phi _{i}^{3}(x))^{''}\;$	0	${{6} \over {h^{2}}}\;$	$-{{12} \over {h^{2}}}\;$	${{6} \over {h^{2}}}\;$	0

Każdą funkcję s(x) należącej do pewnego zbioru możemy przestawić w bazie funkcji $\Phi _{i}^{3}(x)\;$, którą to wspomniana funkcja jest w postaci kombinacji liniowej funkcji bazy, co ten zapis piszemy w postaci wzoru:

$s(x)=\sum _{i=-1}^{n+1}c_{i}\Phi _{i}^{3}(x){\mbox{ gdzie: }}a\leq x\leq b\;$

(1.84)

Interpolacja funkcji interpolowanej przy pomocy funkcji sklejanej stopnia trzeciego

Obierzmy sobie teraz funkcję interpolacyjną należącej do zbioru funkcji sklejanych stopnia trzeciego, które dla węzłów sieci x_i wartość funkcji i funkcji interpolującej dla tego argumentu wynosi f(x_i) piszemy:

$s(x_{i})=f(x_{i})=y_{i}\;$

(1.85)

Jak wiemy, że funkcja trzeciego stopnia, której to przestawiamy wzorem (1.82) dla m=3 ma n+3 niezależnych parametrów, w tym wliczając (1.85), w ten sposób otrzymujemy dwa parametry swobodne, dodatkowe warunki jakie funkcja powinna spełniać są dwa warunki nałożone na pierwszą pochodną, którą to możemy określić jako:

$s^{'}(a+0)=\alpha _{1}\;$

(1.86)

$s^{'}(b-0)=\beta _{1}\;$

(1.87)

Lub dwa warunki określone przez wzory na drugich pochodnych:

$s^{''}(a+0)=\alpha _{2}\;$

(1.88)

$s^{''}(b-0)=\beta _{2}\;$

(1.89)

Na funkcję s(x) możemy określić też przez inne warunki, tzn. warunki określoności funkcji f(x), o okresie b-a, którą to tak składamy by za pomocą funkcji sklejanych tak by było można je sprowadzić na przedział jednowymiarowy nieskończony , tzn. warunki określoności możemy napisać dla i-tej pochodnej funkcji s(x) w postaci wzoru:

$s^{(i)}(a+0)=s^{(i)}(b-0)\;$

(1.90)

Określmy teraz funkcję s''(x), która w punkcie x_j przyjmuje wartość stałą funkcji równą M_j:

$M_{j}=s^{''}(x_{j}){\mbox{ gdzie:}}j=0,1,2,..n\;$

(1.91)

Zgodnie z określeniem drugiej pochodnej funkcji s(x) w punkcie x_j (1.91), to określmy drugą pochodną funkcji x dla dowolnego argumentu należącego do <x_j-1,x_j> w postaci:

$s^{''}(x)=M_{j-1}{{x_{j}-x} \over {h_{j}}}+M_{j}{{x-x_{j-1}} \over {h_{j}}}{\mbox{ gdzie: }}x\in \langle x_{i-1},x_{j}\rangle {\mbox{ i }}h_{j}=x_{j}-x_{j-1}\;$

(1.92)

Możemy z całkować funkcję (1.92) względem argumentu x, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, którą to piszemy wzorem poniżej:

$s^{'}(x)=-M_{j-1}{{(x_{j}-x)^{2}} \over {2h_{j}}}+M_{j}{{(x-x_{j-1})^{2}} \over {2h_{j}}}+A_{j}\;$

(1.93)

Zatem na ostatnim wniosku możemy otrzymamy funkcje s(x), która wynika z całkowania funkcji (1.93) w naszym wyżej określonym przedziale:

$s(x)=M_{j-1}{{(x_{j}-x)^{3}} \over {6h_{j}^{2}}}+M_{j}{{(x-x_{j-1})^{3}} \over {6h_{j}}}+A_{j}(x-x_{j-1})+B_{j}\;$

(1.94)

Na funkcję s(x) (1.94) możemy nałożyć warunki interpolacji (1.85), w ten sposób wzór (1.94) dla tych węzłów możemy napisać:

$s(x_{j-1})=M_{j-1}{{h_{j}^{2}} \over {6}}+B_{j}=y_{j-1}\;$

(1.95)

$s(x_{j})=M_{j}{{h_{j}^{2}} \over {6}}+A_{j}h_{j}+B_{j}=y_{j}\;$

(1.96)

Z warunku (1.95) wyznaczamy stałą B_j, którą schematycznie piszemy:

$B_{j}=y_{j-1}-M_{j-1}{{h_{j}^{2}} \over {6}}\;$

(1.97)

Z warunku (1.96) możemy wyznaczyć wzór na stałą A_j, którą to piszemy po podstawieniu do niego wzoru na stałą B_j (1.97), otrzymujemy:

$A_{j}={{y_{j}} \over {h_{j}}}-{{B_{j}} \over {h_{j}}}-{{M_{j}h_{j}} \over {6}}={{y_{j}-y_{j-1}} \over {h_{j}}}-{{h_{j}} \over {6}}\left(M_{j}-M_{j-1}\right)\;$

(1.98)

Piszemy teraz warunek, która mówi, że s^'(x) jest funkcja ciągłą na przedziale obustronnie zamkniętym <a,b>, zatem w tym celu należy obliczyć granicę jednostronne w punktach x_j+0, x_j-0. Możemy policzyć te pochodne przy wykorzystaniu tożsamości na pewne stałe, czyli stałe zdefiniowane według wzoru A_j (1.98), ale najpierw przedstawmy pochodną s(x) w punkcie x_j-0:

$s^{'}(x_{j}-0)=M_{j}{{h_{j}} \over {2}}+{{y_{j}-y_{i-1}} \over {h_{j}}}-{{h_{j}} \over {6}}(M_{j}-M_{j-1})+{{y_{j}-y_{i-1}} \over {h_{j}}}=\;$
$={{h_{j}} \over {6}}M_{j-1}+{{h_{j}} \over {3}}M_{j}+{{y_{j}-y_{j-1}} \over {h_{j}}}\;$

(1.99)

i pochodną funkcji s(x) w punkcie x_j+0:

$s^{'}(x_{j}+0)=-M_{j}{{h_{j+1}} \over {2}}+{{y_{j+1}-y_{j}} \over {h_{j+1}}}-{{h_{j+1}} \over {6}}\left(M_{j+1}-M_{j}\right)=\;$
$=-{{h_{j+1}} \over {3}}M_{j}-{{h_{j+1}} \over {6}}M_{j+1}+{{y_{j+1}-y_{j}} \over {h_{j+1}}}$

(1.100)

I zażądamy by funkcja sklejana s(x) była funkcją ciągłą w punkcie x_j, tzn, pochodna lewostronna (1.99) tej funkcji jest równa pochodnej prawostronnej tej samej funkcji (1.100), tzn. by spełniała warunek:

$s^{'}(x_{j}-0)=s^{'}(x_{j}+0)\;$

(1.101)

Dalej wykorzystamy warunek (1.101), który przedstawia ciągłość funkcji s'(x) w punkcie x_j, następnie do tego wzoru podstawiamy formułę na pochodną lewostronną (1.99) i prawostronną (1.100), zatem takim razie możemy otrzymać warunek, który będziemy dalej przekształcać w tym samym punkcie:

${{h_{j}} \over {6}}M_{j-1}+{{h_{j}} \over {3}}M_{j}+{{y_{j}-y_{j-1}} \over {h_{j}}}=-{{h_{j+1}} \over {3}}M_{j}-{{h_{j+1}} \over {6}}M_{j+1}+{{y_{j+1}-y_{j}} \over {h_{j+1}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{h_{j}} \over {6}}M_{j-1}+{{h_{j}+h_{j+1}} \over {3}}M_{j}+{{h_{j+1}} \over {6}}M_{j+1}={{y_{j+1}-y_{j}} \over {h_{j+1}}}-{{y_{j}-y_{j-1}} \over {h_{j}}}\;$

(1.102)

Wzór (1.102) mnożymy obustronnie przez ${{6} \over {h_{j}+h_{j+1}}}\;$, w ten sposób możemy dojść do następnego celu:

$(1-{{h_{j+1}} \over {h_{i}+h_{j+1}}})M_{j-1}+2M_{j}+{{h_{j+1}} \over {h_{j}+h_{j+1}}}M_{j+1}={{6} \over {h_{j}+h_{j+1}}}\left({{y_{j+1}-y_{j}} \over {h_{j+1}}}-{{y_{j}-y_{j-1}} \over {h_{j}}}\right)\;$

(1.103)

Wprowadźmy teraz oznaczenia, które będą nam potrzebne do dalszego kroku obliczeń:

$\lambda _{j}={{h_{j+1}} \over {h_{j}+h_{j+1}}}\;$

(1.104)

$\mu _{i}=1-\lambda _{i}\;$

(1.105)

$d_{i}={{6} \over {h_{j}+h_{j+1}}}\left({{y_{j+1}-y_{j}} \over {h_{j+1}}}-{{y_{j}-y_{j-1}} \over {h_{j}}}\right)=6f(x_{j-1};x_{j};x_{j+1})\;$

(1.106)

Na podstawie oznaczeń (1.104), (1.105), (1.106) równanie (1.103) piszemy wedle przepisu:

$\mu _{j}M_{j-1}+2M_{j}+\lambda _{j}M_{j+1}=d_{j}\;$

(1.107)

Warunek (1.86) możemy przedstawić podstawiając w funcji s(x) (1.100) taki argument by było "x" dążące do x₀ prawostronnie:

$\alpha _{1}=-{{h_{1}} \over {3}}M_{0}-{{h_{1}} \over {6}}M_{1}+{{y_{1}-y_{0}} \over {h_{1}}}\Rightarrow {{h_{1}} \over {3}}M_{0}+{{h_{1}} \over {6}}M_{1}={{y_{1}-y_{0}} \over {h_{1}}}-\alpha _{1}\Rightarrow \;$
$2M_{0}+M_{1}={{6} \over {h_{1}}}\left({{y_{1}-y_{0}} \over {h_{1}}}-\alpha \right)$

(1.108)

Ze wzoru (1.108) otrzymujemy dwie bardzo ważne tożsamości na d₀, które zapisujemy w zależności od współczynników M₀ i M₁ dla pierwszej tożsamości i w zalezności od y₀, y₁ i h₁ w drugiej tożsamości:

$2M_{0}+M_{1}=d_{0}\;$

(1.109)

$d_{0}={{6} \over {h_{1}}}\left({{y_{1}-y_{0}} \over {h_{1}}}-\alpha _{1}\right)\;$

(1.110)

Warunek (1.87) możemy przedstawić podstawiając za funkcję s(x) (1.100) dla i=n-1 i dla "x" dążącego lewostronnie do x_n:,

$\beta _{1}={{h_{n}} \over {6}}M_{n-1}+{{h_{n}} \over {3}}M_{n}+{{y_{n}-y_{n-1}} \over {h_{n}}}\Rightarrow \beta _{1}-{{y_{n}-y_{n-1}} \over {h_{n}}}={{h_{n}} \over {6}}M_{n-1}+{{h_{n}} \over {3}}M_{n}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow M_{n-1}+2M_{n}={{6} \over {h_{n}}}\left(\beta _{1}-{{y_{n}-y_{n-1}} \over {h_{n}}}\right)$

(1.111)

Z tożsamości (1.111) otrzymujemy dwie bardzo ważne tozsamości na d_n, które zapisujemy w zależności od współczynników M_n i M_n-1 dla pierwszej tożsamości i w zależności od y_n, y_n-1 i h_n w drugiej tożsamości:

$M_{n-1}+2M_{n}=d_{n}\;$

(1.112)

$d_{n}={{6} \over {h_{n}}}\left(\beta _{1}-{{y_{n}-y_{n-1}} \over {h_{n}}}\right)\;$

(1.113)

Na podstawie tożsamości (1.107) , (1.109) i (1.112) możemy napisać równanie macierzowe jako:

${\begin{bmatrix}2&1&0&\cdots &0\\\mu _{1}&2&\lambda _{1}&\cdots &0\\0&\mu _{1}&2&\cdots &0\\\vdots &&&&\vdots \\0&\cdots &\cdots &2&\lambda _{n-1}\\0&\cdots &\cdots &1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}M_{0}\\M_{1}\\\vdots \\M_{n-1}\\M_{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{n-1}\\d_{n}\\\end{bmatrix}}\;$

(1.114)

Jeśli będziemy przyjmować funkcje okresową s(x) o okresie b-a, to wtedy na podstawie (1.90) możemy powiedzieć, że wielkość o wskaźniku n+1 jest to wielkość o wskaźniku 1, a wielkość o wskaźniku n jest to wielkość o wskaźniku 0. Zatem na podstawie tego i wcześniejszych rozważań tożsamość (1.107) możemy napisać:

$\lambda _{n}M_{1}+\mu _{n}M_{n-1}+2M_{n}={\tilde {d}}_{n}\;$

(1.115)

Wzory na λ_n według (1.104), μ_n według (1.105) i ${\tilde {d}}_{n}\;$ według (1.106) piszemy tutaj na podstawie określoności funkcji s(x) wedle schematów:

$\lambda _{n}={{h_{1}} \over {h_{1}+h_{n}}}\;$

(1.116)

$\mu _{n}=1-\lambda _{n}\;$

(1.117)

${\tilde {d}}_{n}={{6} \over {h_{1}+h_{n}}}\left({{y_{1}-y_{0}} \over {h_{1}}}-{{y_{n}-y_{n-1}} \over {h_{n}}}\right)\;$

(1.118)

Na podstawie równania (1.107) i (1.115) możemy napisać tożsamość macierzową wynikającej z przyjęcia okresowości funkcji s(x) rugując stałą M₀ (M₀=M_n):

${\begin{bmatrix}2&\lambda _{1}&0&\cdots &\mu _{1}\\\mu _{1}&2&\lambda _{1}&\cdots &0\\0&\mu _{1}&2&\cdots &0\\\vdots &&&&\vdots \\0&\cdots &\cdots &2&\lambda _{n-1}\\\lambda _{n}&\cdots &\cdots &\mu _{n}&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}M_{1}\\M_{2}\\\vdots \\M_{n-1}\\M_{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\\vdots \\d_{n-1}\\{\tilde {d}}_{n}\\\end{bmatrix}}\;$

(1.119)

Można obliczyć stałe M_i z warunku macierzowego (1.114) dla funkcji nieokresowej s(x) lub dla funkcji okresowej s(x) według warunku macierzowego (1.119), zatem przy pomocy obliczonych współczynników M_i możemy policzyć wartość s(x) w punkcie "x" ze wzoru (1.94).