Metody numeryczne fizyki

Metody numeryczne fizyki

Mirosław Makowiecki

---

SPIS RZECZY

Interpolacja 

 1

Aproksymacja 

 2

Rozwiązywanie równań nieliniowych w sposób przybliżony 

 3

Całkowanie numeryczne funkcji interpolacyjnej 

 4

Algebraiczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych 

 5

Wyznaczanie wektorów własnych i wartości własnych dla dowolnej macierzy 

 6

Sposoby rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych z pewnymi warunkami początkowymi 

 7

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi 

 8

Będziemy się tutaj zajmować metodami, które mają na określenie odpowiednich liczb przy obliczaniu numerycznych odpowiednich układów, przybliżonym rozwiązywaniem pewnych układów równań, a także mających na określeniu pewnych wartości poprzez interpolacje i aproksymację pewnych układów liczbowych. Będziemy się też zajmować przybliżonym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych czy cząstkowych.

Spis treści

Interpolacja

• 1Zagadnienie interpolacji
• 2Zagadnienie interpolacji przy pomocy wielomianów
• 3Interpolacja według Lagrange'a
• 4Metoda interpolacyjna Aitkena
• 5Oszacowanie błędu dla problemu interpretacyjnego Lagrange'a
• 6Problem najlepszego wyboru węzłów interpolacji
• 7Wzór interpolacyjny Newtona dla dowolnych odstępu argumentu
• 8Różnice progresywne i wsteczne
  • 8.1Różnice progresywne
    • 8.1.1Pewne dowody ważnych twierdzeń na różnicach progresywnych
  • 8.2Różnice wsteczne
• 9Równanie interpolacyjne Newtona dla jednakowych różnic argumentów
• 10Interpolacja przy pomocy funkcji sklejanych
  • 10.1Wstęp do funkcji sklejanych
  • 10.2Interpolacja funkcji interpolowanej przy pomocy funkcji sklejanej stopnia trzeciego

Aproksymacja

• 1Wprowadzenie do aproksymacji średniokwadratowej
• 2Wprowadzenie aproksymacji jednostajnej
• 3Omówienie aproksymacji średniokwadratowej
• 4Omówienie aproksymacji wielomianowej
• 5Wielomiany ortogonalne i ich aproksymacja przy pomocy tychże wielomianów
  • 5.1Średniokwadratowa aproksymacja funkcji ciągłych
• 6Omówienie aproksymacji trygonometrycznej
• 7Funkcje sklejane i aproksymacja za pomocą niej
• 8Aproksymacja jednostajna przy pomocy wielomianów
• 9Metoda aproksymacji jednostajnych, czyli metoda szeregów potęgowych
• 10Naprawdę szybka transformacja Fouriera
  • 10.1Wyliczanie współczynników c_k
  • 10.2Metoda Cooleya-Tukeya
  • 10.3Algorytm szybkiego mnożenia
• 11Przybliżenie Padégo, czyli przybliżenie wielomianami wymiernymi
• 12Przybliżenia szeregami Czebyszewa

Rozwiązywanie równań nieliniowych w sposób przybliżony

• 1Metoda znajdowania pierwiastków metodą połowienia
• 2Reguła falsi
  • 2.1Wartość graniczna zespołu przybliżeń
  • 2.2Oszacowanie błędu bezwzględnego w tym przybliżeniu
  • 2.3Błędy bezwzględne przybliżonej wartości regułą falsi przy kolejnych przybliżeniach wartości miejsca zerowego funkcji f(x)
  • 2.4Inny wzór na błąd bezwzględny oszacowania wartości dokładnej pierwiastka funkcji f(x)
• 3Metoda siecznych
• 4Metoda Newtona (stycznych)
• 5Poszukiwanie pierwiastków wielomianów o dziedzinie zespolonej
  • 5.1Znajdowanie liczby miejsc zerowych rzeczywistych dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych
    • 5.1.1Twierdzenie Sturma
    • 5.1.2Twierdzenie Fouriera
    • 5.1.3Twierdzenie Laguerre'a
    • 5.1.4Reguła Kartezjusza
  • 5.2Lokalizowanie miejsc zerowych rzeczywistych wielomianów rzeczywistych
  • 5.3Metoda znajdowania przybliżonych miejsc zerowych wielomianu rzeczywistego
  • 5.4Umieszczanie zer wielomianów ogólnie zespolonych
    • 5.4.1Warunki na miejsca zerowe zespolone wielomianów zespolonych
    • 5.4.2Kryterium Michajłowa
    • 5.4.3Kryterium Routha
    • 5.4.4Kryterium Hurwitza
  • 5.5Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianu zespolonego
• 6Wprowadzenie do układów równań nieliniowych
  • 6.1Metoda Newtona a rozwiązywanie układu równań wielu zmiennych
    • 6.1.1Metoda kolejnych poprawek trójmianu kwadratowego - metoda Bairstowa
  • 6.2Metoda siecznych jako metoda n+1 punktowa
  • 6.3Poszukiwanie wartości minimalnej funkcji jednej zmiennej
    • 6.3.1Dwie metody podziału na równe przedziały
      • 6.3.1.1Podział na trzy równe części w wyniku kolejnych przedziałów w wyniku iteracji
      • 6.3.1.2Podział na cztery równe części wyniku kolejnych podziałów w wyniku iteracji - metoda połowienia
    • 6.3.2Metoda Johnsona optymalnych podziałów
    • 6.3.3Efektywna metoda złotego podziału

Całkowanie numeryczne funkcji interpolacyjnej

• 1Wprowadzenie do wzorów całkowania numerycznego
• 2Całkowanie wielomianu interpolacyjnego z ustalonymi punktami
  • 2.1Metoda całkowa wielomianu interpolacyjnego Newtona-Cotesa
  • 2.2Złożone metody całkowania wielomianu interpolującego Newtona-Cotesa
  • 2.3Metoda całkowania wielomianu interpolacyjnego Romberga
• 3Całkowanie wielomianu interpolacyjnego Gaussa
  • 3.1Wprowadzenie do kwadratur określonych w przedziale skończonym, a kwadratura Gaussa-Legendre'a
  • 3.2Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Jacobiego
  • 3.3Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Czybyszewa
  • 3.4Całkowanie interpolacyjne dla przedziału nieskończonego
• 4Złożone metody całkowania interpolacyjnego Gaussa

Algebraiczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych

• 1Wprowadzenie do pojęcia normy
• 2Błędy rozwiązań układów równań algebraicznych
• 3Układy równań algebraicznych o trójkątnej macierzy
• 4Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Gaussa
  • 4.1Wyznaczanie macierzy L i U, a metoda Doolittle'a
  • 4.2Błędy przybliżeń w metodzie Gaussa i Doolittle'a
• 5Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Jordana (metodą eliminacji zupełnej)
• 6Rozkład macierzy symetrycznej A na LDL^T i LL^T
• 7Równanie macierzowe z macierzą trójdiagonalną
• 8Równanie macierzowe z macierzą podobną do trójdiagonalnej
• 9Wyznaczanie wartości wyznacznika oraz macierzy odwrotnej
• 10Poprawianie rozwiązań układów równań liniowych i wektor reszt
• 11Macierzowe algebraiczne liniowe równania iteracyjne
• 12Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Jacobiego
• 13Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Gaussa-Seidla
• 14Błędy iteracyjne w algebraicznych równaniach macierzowych
• 15Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Czebyszewa

Wyznaczanie wektorów własnych i wartości własnych dla dowolnej macierzy

• 1Wstęp do obliczania wartości i wektorów własnych dla macierzy kwadratowej
• 2Błędy zaokrągleń dowolnej macierzy wraz z jego wartościami i wektorami własnymi
• 3Znajdowanie miejsc zerowych dowolnej macierzy
• 4Wykorzystanie metod potęgowych przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych i wektorów własnych dla dowolnej macierzy
• 5Wykorzystanie metod Hessenberga przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych dla dowolnej macierzy
• 6Znajdowanie wartości własnych dowolnej macierzy poprzez doprowadzenie jej do postaci Hessenberga
• 7Przegląd metod wyznaczania wektorów własnych metodą QR,LR i metodą iteracji odwrotnej
  • 7.1Wyznaczanie wektorów własnych metodą QR
  • 7.2Wyznaczanie wektorów własnych metodą LR
  • 7.3Wyznaczanie wektorów własnych metodą iteracji odwrotnej
• 8Ogólne metody rozkładu dowolnej macierzy na iloczyn macierzy QR
  • 8.1Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Grama-Schmidta
  • 8.2Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Householdera
  • 8.3Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Givensa
• 9Wyznaczenie wartości własnej dla symetrycznej trójdiagonalnej macierzy
  • 9.1Wyznaczanie wartości własnych dla trójdiagonalnej macierzy symetrycznej metodą bisekcji
  • 9.2Uzyskiwanie rozkładu macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą QR
• 10Sprowadzanie dowolnej macierzy symetrycznych do postaci trójdiagonalnej
  • 10.1Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Householdera
  • 10.2Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Givensa

Sposoby rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych z pewnymi warunkami początkowymi

• 1Rozwiązywanie układu równań różniczkowych metodą Eulera
• 2Wprowadzenie do metod różnicowych
  • 2.1Analiza błędów
  • 2.2Stabilność metody różnicowej i jej zbieżność do granicy
• 3Wzory różnicowe Rungego-Kutta
  • 3.1Rozważania na temat stabilności metod Rungego-Kutty i jego rozwiązania
• 4Niektóre wzory różnicowe
• 5Zmienny etap całkowania
• 6Połączenie wzorów interpolacyjnych i ekstrapolacyjnych w metodach różnicowych
• 7Zastosowanie metody różnicowej Hamminga

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi

• 1Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych
• 2Sprowadzanie pochodnych cząstkowych do zagadnień różnicowych
  • 2.1Stabilność rozwiązań równań cząstkowych z warunkami brzegowymi i jego zbieżność
  • 2.2Równania różnicowe i ich zbieżność względem parametrów siatki względem osi położenia i czasu
  • 2.3Zbieżność przy nieskończonym zagęszczaniu siatki
  • 2.4Rozwiązywanie różnicowego równania według schematu blokowego
• 3Drgająca struna
• 4Rozwiązywanie równań Poissona metodami różnicowymi
  • 4.1Problem Dirichleta w aproksymacji różnicowej
• 5Rozwiązywanie równań różnicowych w wykorzystaniem zbieżności jednostajnej
  • 5.1Rozwiązywanie równania przewodnictwa cieplnego metodą prostych
  • 5.2Rozwiązywanie równania drgania struny metodą prostych

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.