Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
→Rozwiązywanie równań wykładniczych: Przykład 2 |
|||
Linia 187:
== Rozwiązywanie nierówności potęgowych ==
Przykładem nierówności potęgowej może być:
: <math> x^2>x^{-3} </math>
: <math> x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0 </math>
: <math> 3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4} </math>
Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:
# Ustalamy dziedzinę.
# Przenosimy całe równanie na lewą stronę.
# Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
## <math> \frac{a}{b}>0 <=> ab>0 </math>
## <math> \frac{a}{b}<0 <=> ab<0 </math>
# Udzielamy odpowiedzi.
Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez <math> x^k </math>, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ <math> x^k </math> zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak równania nie może ulec zmianie.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać nierówność <math> x^{-4}>x^{-3} </math>. Robimy to w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przykształcenia, które nam to ułatwią:
#: <math> x^{-4}>x^{-3},~D=R \backslash \{0\} </math>
#: <math> \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} </math>
# Przenosimy wszystko na lewą stronę:
#: <math> \frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0 </math>
# Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> \frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0 </math>
#: <math> \frac{1-x}{x^4}>0 <=> x^4(1-x)>0 </math>
#: <math> -x^4(x-1)>0 </math>
# Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:
#: <math> x_1=0 </math> o krotności 4
#: <math> x_2=1 </math> o krotności 1
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png]]
# Rozwiązaniem nierówności jest <math> x \in (-\infty;0) \cup (0;1) </math>
Równanie to mogliśmy przekształcić wymnażając obie strony przez <math> x^4 </math>. Otrzymalibyśmy:
: <math> \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} </math> <math> / \sdot x^4 </math>
: <math> 1>x </math>
Uwzględniając dziedzinę mamy <math> x \in (-\infty;0) \cup (0;1) </math>. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.
== Funkcja wykładnicza ==
| |||