Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 4:
Funkcjonał występujący w rachunku wariacyjnym nie jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:
{{IndexWzór|<MATH>L[py_1+qy_2]\neq pL[y_1]+qL[y_2]\;</MATH>|17.2}}
Funkcja podcałkowa wystepująca we wzorze {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla
==Wariacje funkcji i funkcjonału==
Wariacja funkcjonału funbkcji y będziemy umownie oznaczać przez δy i nazywamy tą wielkość jako róznicy funkcji y<sub>1</sub> i funkcji y i to oznaczamy matematycznie:
Linia 10:
Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co matematycznie piszemy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>||\delta y||=\operatorname{max}|y_1(x)-y(x)|<<1\;</MATH>|17.4}}
Wariację funkcjonału L\, czyli δy definiujemy podobnie jak w przypadku
{{IndexWzór|<MATH>L[y+\delta y]-L[y]=\delta L[y,\delta y]+0(\delta y)\;</MATH>|17.5}}
Ostatni człon oznacza resztę, która jest mała wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y
Linia 17:
{{IndexWzór|<MATH>L[y]\geq L[y_o]\;</MATH>|17.6}}
Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału.
Warunkiem koniecznym istnienia
{{IndexWzór|<MATH>\delta L[y_0,\delta y_0]=0\;</MATH>|17.7}}
==Równanie Eulera-Lagrange'a==
| |||