Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 6:
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|18.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną określoną wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|18.2}}
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczonej ze wzoru {{linkWzór|18.2}} podstawiamy do
{{IndexWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n\Rightarrow z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{, }c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|18.3}}
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikająca z końcowego związku {{LinkWzór|18.3}} jest równanie:
Linia 25:
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub> to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|18.5}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|18.10}}
Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|18.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|18.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|18.7}} jest równy zero, zatem wtedy po podstawieniu naszego
{{IndexWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow\;</MATH><BR>
<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|18.11}}
| |||