Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian |
mNie podano opisu zmian |
||
Linia 6:
nast=Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych}}
__NOTOC__
== Funkcja potęgowa ==
{{Matematyka/Definicja|
treść='''Funkcja potęgowa''' jest to funkcja określona wzorem <math> f(x)=x^p </math>.}}
<noinclude>{{Matematyka dla liceum/Poziom rozszerzony}}</noinclude>
Dziedzina funkcji potęgowej:
# Jeśli <math>p \in \mathbb{N}_+</math>, to <math>D_f=\mathbb{R}</math>
# Jeśli <math>p \in \mathbb{Z}</math>, to <math>D_f = R \backslash \{0\}</math>
# Jeśli <math>p \in \mathbb{Q}</math>:
#* dla <math> p>0 </math>, to <math> D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\} </math>
#* dla <math> p<0 </math>, to <math> D_f=\mathbb{R}_+ </math>
=== Wykres ===
==== O wykładniku równym zero ====
[[Grafika:Funpot-wykr0.png]]
W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest stała. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że <math> D=\mathbb{R} \backslash \{0\} </math>. Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia <math> 0^0 </math> jest nieokreślona.
==== O wykładniku dodatnim parzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr1.png]]
Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = \mathbb{R} </math>
# <math> ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\} </math>
# Miejsce zerowe funkcji: <math> x_0=0 </math>
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \varnothing </math>, funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
# Ekstrema:
#: Minimum: dla <math> x=0 </math> <math> f(x)=0 </math>
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie dla <math> x \in (0,+\infty) </math>
#: Maleje dla <math> x \in (-\infty,0) </math>
# Funkcja nie jest różnowartościowa
# Funkcja jest parzysta
# Funkcja nie jest nieparzysta
}}
==== O wykładniku dodatnim nieparzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr2.png]]
Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = \mathbb{R} </math>
# <math> ZW_f = \mathbb{R} </math>
# Miejsce zerowe funkcji: <math> x_0=0 </math>
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\} </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\} </math>
# Ekstrema:
#: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie dla <math> x \in \mathbb{R} </math>
# Funkcja jest różnowartościowa
# Funkcja nie jest parzysta
# Funkcja jest nieparzysta
}}
==== O wykładniku ujemnym parzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr3.png]]
Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:
<center><math> y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1) </math></center>
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>
# <math> ZW_f = \mathbb{R}_+ </math>
# Miejsce zerowe funkcji: brak
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in D_f </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \varnothing </math>
# Ekstrema:
#: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie dla <math> x \in (-\infty;0) </math>
#: Maleje dla <math> x \in (0;+\infty) </math>
# Funkcja nie jest różnowartościowa
# Funkcja jest parzysta
# Funkcja jest nieparzysta
# Asymptoty: <math> x=0 </math> i <math> y=0 </math>
}}
==== O wykładniku ujemnym nieparzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr4.png]]
Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:
<center><math> y>1 \iff x \in (0;1) </math></center>
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>
# <math> ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>
# Miejsce zerowe funkcji: brak
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in D_f </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \varnothing </math>
# Ekstrema:
#: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie przedziałami <math> x \in (-\infty;0) </math> i <math> x \in (0;+\infty) </math>
# Funkcja jest różnowartościowa
# Funkcja jest nieparzysta
# Funkcja nie jest nieparzysta
# Asymptoty: <math> x=0 </math> i <math> y=0 </math>
}}
{{Matematyka/Nawigacja dolna|
| |||