Wikibooks

Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 2:
W tym rozdziale zapoznamy się z podstawowymi własnościami dla operatorów symbolizujących kwanty pola elektromagnetycznego, wyprowadzimy macierze spinowe, podamy równanie własne współrzędnej zetowej i kwadratu całkowitego momentu pędu kwantów pola elektromagnetycznego.
==Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty==
Wiemy, że obroty są odpowiedzialne za zasadę zachowania momentu pędu. Jego macierz transformacji, jeśliJeśli znamy oś obrotu i jej kierunek, czyli znamy wektor <MATH>\vec{n}\;</MATH>, który właśnie za nie jest odpowiedzialny, przy czym zakładamy, że zwrot tego wektora jest do góry względem pewnej płaszczyzny i prostopadły do niego, w której następuje obrót, jeśli obrót jest przeciwny z kierunkiem ruchu zegara, zatem macierz obrotu przedstawia się:
{{IndexWzór|<MATH>R(\vec{n},\theta)=e^{-\theta{{\vec{n}\hat{l}}\over{\hbar}}}</MATH>|30.1}}
Wektor wodzący tuż o obrocie względem operatora obrotu {{LinkWzór|30.1}} względem starego wektora tego rodzaju zapisujemy:
Linia 11:
Transformacja funkcji falowej przedstawia się podobnie jak w przypadku współrzędnych wektora wodzącego {{LinkWzór|30.2}}, jeśli rozpatrujemy funkcje falowe w postaci wektora, to taką transformacje zapisujemy podobnie:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^'(r^')=R(\vec{n},\theta)\psi(r)</MATH>|30.4}}
Jeśli dodatkowo założymy, że kwant pola elektromagnetycznego posiada dodatkowy moment pędu i nazwijmy ją spinowym momentem pędu kwantu promieniowania, to operator transformacji w analogii {{LinkWzór|30.1}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{D}^{(1)}=e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{S}}\over{\hbar}}}</MATH>|30.5}}
*gdzie <MATH>\hat{S}</MATH>- jest to macierz spinowa:
Linia 20:
Nazwijmy całkowitym operatorem momentu pędu jako suma operatora orbitalnego momentu pędu i operatora momentu pędu spinowego kwantu promieniowania:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}=\hat{l}+\hat{S}</Math>|30.8}}
Całkowita macierz obrotu {{LinkWzór|30.7}}, korzystając z definicji całkowitego momentu pędu kwantu {{LinkWzór|30.8}} jest przedstawiona wedle sposobu:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=e^{-\theta{{\vec{n}\hat{j}}\over{\hbar}}}\;</MATH>|30.9|Obramuj}}
Rozpatrując wartości własne operatorów momentu pędu, to wtedy całkowity moment pędu kwantu promieniowania jest zapisany wedle wzoru:
Linia 35:
Z drugiej jednak strony z rysunku obok możemy jednak zapisać przy pomocy wektora <MATH>\vec{n}\;</MATH> wzdłuż której następuje obrót o kierunku odwrotnie ze wskazówkami zegara, jeśli zwrot tego wektora jest nad zegarem, że:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\psi=-(\psi\times\vec{n})\delta\theta</MATH>|30.13}}
Ponieważ wzory {{LinkWzór|30.12}} i {{LinkWzór|30.13}} przedstawiają to samo, dla tej samej współrzędnej wektora falowego, ale dla stałego pola wektorowego, zatem przyrównując obie strony tychże równań, możemy zatem zapisać, że:
{{IndexWzór|<MATH>-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})=
-(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta\Rightarrow\left(\sum_k i{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\right)\delta\theta=(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta</MATH>|30.14}}
Linia 43:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[x(S_x)_{11}+y(S_y)_{11}+z(S_z)_{11}\right]\psi_1+i\left[x(S_x)_{12}+y(S_y)_{12}+z(S_z)_{12}\right]\psi_2+\;</MATH><BR>
:<MATH>+i\left[x(S_x)_{13}+y(S_y)_{13}+z(S_z)_{13}\right]\psi_3=\hbar(\psi_2 z-\psi_3 y)\;</MATH>|30.16}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.16}} dochodzimy do wniosku, że odpowiednie współrzędne operatora spinu kwantu promieniowania, a właściwie jej niektóre elementy moznamożna policzyć z pierwszego z trzech równań, które będziemy rozważać:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}(S_x)_{11}=(S_y)_{11}=(S_z)_{11}=0\\
i[x(S_x)_{12}+y(S_y)_{12}+z(S_z)_{12}]=\hbar z\\
Linia 488:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}^2(\hat{l}Y_{lm})=(l(l+1)+S(S+1)-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=
(l(l+1)+2-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=l(l+1)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.52}}
Z definicji wartość własna kwadratu momentu pędu całkowitego przyjmuje się jako <MATH>j(j+1)\hbar^2\;</mATH>, a momentu pędu orbitalnego <MaTH>l(l+1)\hbar^2\;</MATH>, zatem dochodzimy do wniosku, że w obliczeniach {{LinkWzór|30.52}} musimy przyjąć <math>j=l\;</MAth>, ponieważ przy składaniu orbitalnego momentu pędu ze spinem, to na ich liczbach kwantowych powinno zachodzić dla całkowitego momentu pędu, którego liczba kwantowa jest w trzech postaciach, tzn. j=l-1,l,l+1, ale pole elektromagnetyczne wybiera jedną z nich, tzn. j=l i dlatego musimy napisać dla {{LinkWzór|30.47}} i {{LinkWzór|30.52}}:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<math>\hat{j}_z(\hat{l}Y_{jm})=m\hbar (\hat{l}Y_{jm})\;</MATH>|30.52|Obramuj}}
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Wstęp_do_teorii_promieniowania_kwantów_pola_elektromagnetycznego”