Wikibooks

Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
mNie podano opisu zmian
Linia 2:
Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przez wyznaczeniem należy wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.
==Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera==
Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora <MATH>\nabla\;</MATH> i operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna, zatem towtedy równanie własne zapisuje w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.1}}
Pomnóżmy równanie własne {{LinkWzór|28.1}} przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych <MATH>_{-{{2m}\over{\hbar^2}}}\;</MATH>, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, można napisać:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-{{2m V(\vec{r})}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\vec{r})=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.2}}
Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.2}} na funkcję <MATH>V(\vec{r})\;</MATH> i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:
Linia 14:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-U(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=-k_0^2\psi\;</MATH>|28.5}}
Widzimy, że wyrażenie {{LinkWzór|28.5}} spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń.
W równaniu {{LinkWzór|28.5}} przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, to równanie zapisujemy w postaciotrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.6}}
Porównując równanie {{LinkWzór|28.6}} z {{LinkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:
Linia 25:
Jeśli zaburzenie jest małe, to w niektórych przypadkach możemy zapisać:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.10}}
Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcją własną operatora energii jest funkcja {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i, wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena i która jest przestawiana:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.11}}
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według jego definicji {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej {{LinkWzór|14.39|Metody_matematyczne_fizyki/Wstęp_do_transformacji_Fouriera|MMF}}, z której będziemy mogli napisać ten nasz operator dla przestrzeni trójwymiarowej, wymnażając funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, oraz z definicji operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH>{{LinkWzór|28.8}}:
Linia 39:
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{-\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><math>={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\;</MATH>|28.13}}
Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie <MATH>(0,0)\;</MATH>, wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla <math>R\rightarrow \infty\;</MATH> ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.13}}, ale najpierw napiszmy zamiast k weźmy liczbę zespoloną <MaTH>R\cos\theta+iR\sin\theta\;</MATH>, zatem jesli <MATH>k\rightarrow\pm\infty\;</MATH>, to <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>, wtedy możemy przecałkować po półokręgu i dla <MATH>\&epsilon\;</MATH> skończonego, ale nierównego zero, i zobaczymy co nam wyjdzie dalej:
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|=\left|\int_O{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{iR|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\theta }e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}\right|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\int_{O}\left|{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}|dk|\leq\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\;</MAth>|28.14}}
Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale <MATH>(0,{{\pi}\over{2}})\;</math>,gdzie funkcja <MaTh> y=\sin x\;</MATH> jest zawsze większa niż prosta <MATH>y={{2}\over{\pi}}x\;</MaTH>, zatem zachodzi:<MATH>\sin x\geq {{2}\over{\pi}}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2}\over{\pi}}x\;</MATH>, zatem przedział całkowania w {{LinkWzór|28.14}} należy ograniczyć do omawianego przedziału a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:
Linia 66:
 
==Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Klieina-Gordona==
Gęstość Lagrangianu {{LinkWzór|26.24|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} uzupełnijmy o dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy tago nasza gęstość Lagrangianu zapisując je w postaci pełnejnapiszemy:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi-{{1}\over{2}}{{m^2_0c^2}\over{\hbar^2}}\psi^2+J\psi\;</MATH>|28.20}}
Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.20}} tylko jedyna różnica jest dla pochodnej {{LinkWzór|26.28|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, który tutaj wynosi:
Linia 72:
Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.22}}
Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.22}}, to naszewtedy równanie różniczkowe ruchu jest bardzo podobne do równania Klieina-Gordona {{LinkWzór|26.31|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, bo tuw tym równaniu zachodzi<MaTH>J(\underline{x})\equiv 0\;</MATH>, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, piszemyzapisujemy w formie:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.23}}
Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i funkcji <MATH>K(\underline{x})\;</MATH> są przedstawiane według wzoruzarysowane:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{O}=\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|28.24}}
Linia 87:
-{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.27}}
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>.
Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena {{LinkWzór|28.27}} oraz funkcje dlawyznaczone równania różniczkowego jednorodnegoniejednorodne {{LinkWzór|28.23}} dla J=0, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego jest w postaciwedle {{LinkWzór|20.7|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}.
<noinclude>{{kreska nawigacja|Mechanika kwantowa|Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu a jego przekroje|Symetria cechowania transformacji ładunkowej}}</noinclude><noinclude>{{BottomPage}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Funkcje_Greena_w_teorii_kwantów”