Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
m int., sprzątanie kodu |
|||
Linia 1:
{{DoPracowania|niedokończone (sekcje na końcu są puste)}}
= Pochodna funkcji =
{{Definicja2|1=Pochodną funkcji f(x) w punkcie x<sub>0</sub> nazywamy:
<div align=center>
Linia 7 ⟶ 6:
</div>
}}
Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:
Linia 16 ⟶ 13:
Jeżli założymy, że <math>y = ax + b\,</math> jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy <math>a\,</math> prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie <math>\Big(x_0, f(x_0)\Big)</math>. Możemy zatem zapisać:
<math>f' (x_0) = \tan \alpha\,</math>, gdzie <math>\alpha</math> to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji
{{Uwaga|1=Ponieważ z pochodnej funkcji korzystamy w wielu innych dziedzinach nauk ścisłych (np. fizyka, chemia, itp.), w rozwiązywanych przykładach często będziemy odchodzić od konwencji oznaczeń stosowanej w definicjach i twierdzeniach, tzn.:
* nazwy funkcji literami f, g, h, ...
* wartości funkcji literą y
* argumentu funkcji literą x.
Nie warto przywiązywać się do jakichkolwiek oznaczeń dla nazw funkcji, jak i ich argumentów. Na przykład prędkość w fizyce definiuje się jako pochodną położenia po czasie:
Linia 31 ⟶ 28:
W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.
== Pochodna sumy funkcji ==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f'' i ''g'':
<div align=center>
Linia 39 ⟶ 35:
}}
Przykład
<math>y=x^2+x</math><br />
<math>y'=[x^2+x]'</math><br />
<math>y'=[x^2]'+[x]'</math><br />
<math>y'=2x+1</math>
== Pochodna iloczynu funkcji ==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f'' i ''g'':
<div align=center>
Linia 76 ⟶ 72:
</math>
== Pochodna ilorazu funkcji ==
{{Twierdzenie|1=
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne <math>f(x), g(x)\ne0</math>:
Linia 85 ⟶ 81:
Przykład
<math>y=\frac{\sin x}{x}</math><br />
<math>y'=\frac{(\cos x \cdot x) - (\sin x \cdot 1)}{x^2} </math><
== Pochodna funkcji złożonej ==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f'' i ''g'':
<div align=center>
Linia 94 ⟶ 90:
</div>
}}
== Pochodne funkcji elementarnych ==
:{| style="text-align: center; width: 75%; margin: 0 auto; border-collapse: collapse" border="1" cellpadding="4" cellspacing="1"
|-style="background: #AABBCC;"
Linia 210 ⟶ 206:
|}
= Pochodna cząstkowa funkcji =
= Ekstremum funkcji =▼
▲=Ekstremum funkcji=
Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie <math>x_0\;</math> równa 0 i zmienia tam znak, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.
Linia 219 ⟶ 214:
# Jeśli pierwsza pochodna <math>f'(x)\;</math> w pukcie <math>x_0\;</math> z prawej strony jest dodatnia (a z lewej strony ujemna), to <math>f(x)\;</math> w punkcie <math>x_0\;</math> ma minimum lokalne.
* Jeśli druga pochodna <math>f''(x)\;</math> w pukcie <math>x_0\;</math> zmienia znak
== Ekstremum funkcji wielu zmiennych ==
3xy+2x+1
= Rotacja i dywergencja =
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
| |||