Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy

Pochodna funkcji

Definicja
Pochodną funkcji f(x) w punkcie x₀ nazywamy:

$f'(x_{0})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:

$f'(x_{0})=\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x_{0}}=\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x_{0}}=\left.{\frac {d}{dx}}f\right|_{x_{0}}={\dot {f}}(x_{0})$

Jeżli założymy, że $y=ax+b\,$ jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy $a\,$ prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie ${\Big (}x_{0},f(x_{0}){\Big )}$. Możemy zatem zapisać:

$f'(x_{0})=\tan \alpha \,$, gdzie $\alpha$ to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji a półosią x.

W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.

Pochodna sumy funkcji

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:

${\Big [}f+g{\Big ]}'(x)=f'(x)+g'(x)$

Przykład $y=x^{2}+x$
$y'=[x^{2}+x]'$
$y'=[x^{2}]'+[x]'$
$y'=2x+1$

Pochodna iloczynu funkcji

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:

${\Big [}f\cdot g{\Big ]}'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.

${\Bigg [}f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){\Bigg ]}'=$

iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.

$=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Big [}g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){\Big ]}'=$

Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.

$=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Bigg [}g'(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot {\Big [}h(x)\cdot m(x){\Big ]}'{\Bigg ]}=$

Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:

$=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Bigg [}g'(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot {\Big [}h'(x)\cdot m(x)+h(x)\cdot m'(x){\Big ]}{\Bigg ]}=$

Pochodna ilorazu funkcji

Twierdzenie
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne $f(x),g(x)\neq 0$:

$\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}$

Przykład

$y={\frac {\sin x}{x}}$
$y'={\frac {(\cos x\cdot x)-(\sin x\cdot 1)}{x^{2}}}$

Pochodna funkcji złożonej

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c$	$0$	$c\in \mathbb {R}$
$x$	$1$
$x^{n}$	$nx^{n-1}$	$n\in \mathbb {R}$
$ax+b$	$a$
$ax^{2}+bx+c$	$2ax+b$
$a \over x$	$-a \over x^{2}$	$x\neq 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname {tg} x$	$1 \over cos^{2}x$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi ,\;k\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {ctg} x$	$-{1 \over \sin ^{2}x}$	$x\not =k\pi ,\;k\in \mathbb {Z}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	$a>0$
$x^{x}$	$x^{x}(1+\ln x)$
$\ln x$	$1 \over x$	$x>0$
$\log _{a}x$	$1 \over x\ln a$
$\operatorname {arcsin} x$	$1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}$	$|x|<1$
$\operatorname {arccos} x$	$-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}$	$|x|<1$
$\operatorname {arctg} x$	$1 \over 1+x^{2}$
$\operatorname {arcctg} x$	$-1 \over 1+x^{2}$
${\sqrt {x}}$	$1 \over 2{\sqrt {x}}$	$x>0$
${\sqrt[{n}]{x}}$	$1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}$	$x>0$
$\operatorname {sinh} x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}$	$\operatorname {cosh} x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}$
$\operatorname {cosh} x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}$	$\operatorname {sinh} x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}$
$\operatorname {tgh} x={\operatorname {sinh} x \over \operatorname {cosh} x}$	${1 \over \operatorname {cosh} ^{2}x}={4 \over ({e^{x}+e^{-x}})^{2}}$
$\operatorname {artgh} x={1 \over 2}\ln {1+x \over 1-x}$	$1 \over 1-x^{2}$	$|x|<1$
$\operatorname {arctgh} x={1 \over 2}\ln {x+1 \over x-1}$	$-1 \over 1-x^{2}$	$|x|>1\;$
$\ln(x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}})$	$1 \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}$

Ekstremum funkcji

Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie $x_{0}\;$ równa 0 i zmienia tam znak, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.

1. Jeśli pierwsza pochodna $f'(x)\;$ w punkcie $x_{0}\;$ z prawej strony jest ujemna (a z lewej strony dodatnia), to $f(x)\;$ w punkcie $x_{0}\;$ ma maksimum lokalne.
2. Jeśli pierwsza pochodna $f'(x)\;$ w punkcie $x_{0}\;$ z prawej strony jest dodatnia (a z lewej strony ujemna), to $f(x)\;$ w punkcie $x_{0}\;$ ma minimum lokalne.

• Jeśli druga pochodna $f''(x)\;$ w pukcie $x_{0}\;$ zmienia znak, to $f(x)\;$ w punkcie $x_{0}\;$ ma punkt przegięcia.

Ekstremum funkcji wielu zmiennych

3xy+2x+1