Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
full (czyli 5) przykładów |
|||
Linia 14:
# Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
#* <math> \log_n b=x \iff b=n^x </math> np. <math> \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2 </math>
#* Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. <math> \log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1 </math>, ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest ''różnowartościowa''.
# Podać odpowiedź.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Rozwiążmy równanie <math> \log_2 x = 5 </math>.
# Ustalamy dziedzinę: <math> x \in \mathbb{R}_+ </math>
# Własności <math> \log_n b=x \iff b=n^x </math> sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
#: <math> \log_2 x = 5 \iff x = 2^5 = 32 </math>
# Odp. <math> x = 32 </math>
<big> '''Przykład 2''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 </math>. Możemy to zrobić w ten sposób:
Linia 30 ⟶ 38:
# Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.
<big> '''Przykład 3''' </big>
Rozwiążemy równanie <math> \log_5 {x^2} = 3 </math>.
# Ustalamy dziedzinę:
#: Liczba logarytmowana musi być większa od ''0'', dlatego zakładamy, że <math> x^2 > 0 \iff x \neq 0 </math>. Zatem <math> D = \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>.
# <math> \log_5 {x^2} = 3 \iff x^2 = 5^3 = 125 </math>
# I znajdujemy pierwiastki równania:
#: <math> x^2 - 125 = 0 </math>
#: <math> (x - 5\sqrt{5})(x + 5\sqrt{5}) = 0 </math>
#: czyli <math> x_1 = 5\sqrt{5} \in D</math> i <math> x_2 = -5\sqrt{5} \in D</math>
# Odp. <math> x \in \{-5\sqrt{5}; 5\sqrt{5}\} </math>
<big> '''Przykład 4''' </big>
Rozwiążmy rówanie <math> \log^2_2 x - 10 \log x +16 = 0 </math>. (Pamiętamy, że <math> \log^2_2 x = (\log_2 x)^2 </math>, a nie <math> \log_2 (x^2) </math>.)
# Ustalamy dziedzinę: <math> D = \mathbb{R}_+ </math>
# Podstawiamy zmienną pomocniczą <math> t = \log_2 x </math> do równania <math> \log^2_2 x - 10 \log x + 16 </math> i otrzymujemy:
#: <math> t^2 - 10t + 16 </math>
# <math> \Delta = 10^2 - 4 \cdot 16 = 36 </math>, <math> \sqrt{\Delta} = 6 </math>.
# <math> t_1 = \frac{10-6}{2} = 2 </math>, <math> t_2 = \frac{10+6}{2} = 8 </math>
# Ponieważ <math> t = \log_2 x </math>, więc:
#: <math> \log_2 x = t_1 = 2 </math>
#: <math> x = 2^2 = 4 \in D </math>
#: lub <math> \log_2 x = t_2 = 8 </math>
#: <math> x = 2^8 = 256 \in D </math>
# Odp. <math> x \in \{2;8\} </math>
<big> '''Przykład 5''' </big>
Spróbujmy rozwiązać równanie <math> \log_2 x - \log_4 x = 3 </math>.
# Ustalamy dziedzinę: <math> D = \mathbb{R}_+ </math>
# Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór <math>
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} </math>. <math> \log_4 x </math> możemy zapisać jako <math>
\frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} </math>. Zatem nasze równanie przybierze postać:
#: <math> \log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} = 3 </math>
#: <math> \frac{\log_2 x}{2} = 3 </math>
#: Obustronnie mnożymy przez ''2'':
#: <math> \log_2 x = 6 </math>
#: <math> x = 2^6 = 128 </math>
# Odp. <math> x = 128 </math>
| |||