Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 229:
==Wyznaczanie symboli Christoffela==
Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi {{LinkWzór|2.75}}, to wykorzystując przy okazji wzór {{linkWzór|2.69}}, możemy powiedzieć, że:
<div style="display:flex;flex-direction:row;">
{|width=100%|-
|<div style="width:auto;white-space:nowrap;"><strong>(j,r,l)-></strong></div>
|<div style="width:100%">{{indexWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-{\Gamma^k}_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;</MATH>|2.76}}</div>
</div>
|}
Poprzez permutację wskaźników we wzorze {{linkWzór|2.76}} otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela:
<div style="display:flex;flex-direction:row;">
{|width=100%|-
|<div style="width:auto;white-space:nowrap;"><Strong>(r,l,j)-></strong></div>
|<div style="width:100%">{{IndexWzór|<MATH>{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;</MATH>|2.77}}</div>
</div>
|}
<div style="display:flex;flex-direction:row;">
{|width=100%|-
|<STrongdiv style="width:auto;white-space:nowrap;"><strong>(l,j,r)-></strong></div>
|<div style="width:100%">{{IndexWzór|<MATH>{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;</MATH>|2.78}}</div>
</div>
|}
Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;</MATH>|2.79}}
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_tensorowy”