Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 155:
{{indexWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma^{i}}_{ks}C^{sj}+
{\Gamma^{j}}_{ks}C^{is}={(A^iB^j)}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^sB^j+{\Gamma^j}_{ks}A^iB^s=\;</MATH><BR>
<MATH>={A^i}_{,k}B^j+A^i{B^j}_{,k}+({\Gamma^i}_{ls}A^s)B^j+({\Gamma^j}_{ks}B^s)A^i=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH><BR>|2.47}}
<MATH>=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)=\;</MATH><BR>
<MATh>={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.47}}
''Co kończy dowód''.
 
Linia 164 ⟶ 162:
Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.48}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{linkWzór|2.45}}, i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony:
{{IndexWzór|<MATH>(A_iB_i)_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma^s}_{ik} C_{sj}-{\Gamma^s}_{jk}C^{is}=(A_iB_i)_{,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}A_iB_s=\;</MATH><Br>
<MATH>=A_iB_{j,k}+A_{i,k}B_j-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}B_sA_i=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;</MATH><br>|2.49}}
<MATH>=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=\;</MATH><Br>
<MATH>=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;</MATH>|2.49}}
''Co kończy dowód.''
 
Linia 195 ⟶ 191:
==Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych==
Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu {{linkWzór|2.61}}, dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez:
{{IndexWzór|<MATH>dA=d\left[\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)\right]=d\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\right)\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+\left(\sum^r_{q=1}A^{...,k_{q-1},k_q,k_{q+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}de_{k_q}\prod^r_{i=1,i\neq q}e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+\left(\sum^m_{q=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{q-1},r_q,r_{q+1},...}de^{r_q}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1,i\neq q}e^{r^i}\right)\;</MATH>|2.62}}
Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:
{|width=100%|-
Linia 202 ⟶ 198:
|}
A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru {{linkWzór|2.62}} do którego podstawiamy dwie tożsamości {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}}, wtedy dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>dA={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}dx^l\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\sum^r_{i=1} A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}+\;</MATH><BR><MATH>-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^{q}}_{lr_i}\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l\right)\;</MATH>|2.65}}
Jeśli wzór {{LinkWzór|2.65}} podzielimy przez wielkość ''du'', dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x<sup>l</sup> względem wielkości ''u'' i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy:
{{IndexWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\right){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.66}}
Linia 293 ⟶ 289:
{{IndexWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+\;</MATH><Br>
<MATH>-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+
{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH><BrBR>
<MATH>+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH><BR>
<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+\;</MATH>
<MATH>+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_tensorowy”