Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 167:
==Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela==
Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy φ napisaną względem wielkości α i β, co wyrazimy:
{{IndexWzór|<MATH>\phi_{,\alphai,\betaj}={{\partial}\over{\partial x^{\alphai}}}{{\partial}\over{\partial x^{\betaj}}}\phi\;</MATH>|2.50}}
Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\phi_{;\betai;\alphaj}=\phi_{;\alphaj;\betai}\;</MATH>|2.51}}
|{{indexWzór|<MATH>\phi_{,\alphai}=\phi_{;i}\alphawedge \phi_{,j}=\phi_{;j}\;</MATH>|2.52}}
|}
Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy:
{{IndexWzór|<MATH>\phi_{,\betai,\alphaj}-\phi_{,\muk}{\Gamma^{\muk}}_{\beta\alphaij}=\phi_{,\alphaj,\betai}-\phi_{,\muk}{\Gamma^{\muk}}_{\alpha\betaji}\;</MATH>|2.53}}
Pochodna cząstkowa względem parametru x<sup>&alpha;</sup>, a potem od parametru x<sup>&alpha;</sup> jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej:
{{IndexWzór|<MATH>\phi_{,\betaj,\alphai}=\phi_{,\alphai,\betaj}\;</MATH>|2.54}}
W takim bądź razie wyrażenie {{linkWzór|2.53}}, przy pomocy tożsamości {{LinkWzór|2.54}} wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci:
{{IndexWzór|<MATH>\phi_{,\muk}{\Gamma^{\muk}}_{\beta\alphaij}=\phi_{,\muk}{\Gamma^{\muk}}_{\alpha\betaji}\;</MATH>|2.55}}
Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej &phi; i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji &phi; {{LinkWzór|2.54}}, tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników:
{{IndexWzór|<MATH>{\Gamma^{\muk}}_{\beta\alphaij}={\Gamma^{\muk}}_{\alpha\betaji}\;</MATH>|2.56}}
Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępię zapiszmy jako:
 
{{IndexWzór|<MATH>\Gamma_{kij}=\Gamma_{ikj}=\Gamma_{jik}\;</MATH>|2.56a}}
Weźmy wzór {{LinkWzór|2.24}} i pomnóżmy go obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>e_l\;</MATH>}}, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\nabla_le_j={\Gamma^k}_{l j}e_ke^l\Rightarrow \nabla_le_je^l={\Gamma^l}_{k j}e^ke_l\Rightarrow \nabla_le_je^l={{{\Gamma_l}^k}_j}e_ke^l\Rightarrow \left(\nabla_le_j-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\right)e^l=0</MATH>|2.56b}}
A ponieważ wektor {{Formuła|<MATH>e^l\;</MATH>}} może być dowolny, wtedy z {{LinkWzór|2.56b}}:
{{IndexWzór|<MATH>\nabla_le_j-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k=0\Rightarrow\nabla_le_j={{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\;</MATH>|2.56c}}
Porównajmy dwa wzory końcowy {{LinkWzór|2.56c}} z {{linkWzór|2.24}}, wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego {{Formuła|<MATH>e_k\;</MATH>}} przemienność pierwszego wskaźnika z drugim:
{{indexWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={{{\Gamma_l}^k}_j}\;</MATH>|2.56d}}
Zatem właściwość symboli Christoffela {{LinkWzór|2.56}} możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy na podstawie {{linkWzór|2.56a}}, i wykorzystując {{linkWzór|2.56}}, potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co:
{{IndexWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={\Gamma_{jl}}^k\;</MATH>|2.56e}}
Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie {{LinkWzór|2.56c}}) i pierwszego z trzecim {{LinkWzór|2.56e}} wskaźnika symboli Christoffela, czyli jest spełniona właściwość ta po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne w {{LinkWzór|2.56d}} i {{LinkWzór|2.56e}}, co później dzięki właściwości tensora metrycznego właściwość {{LinkWzór|2.56a}} jest też spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników do góry lub dołu.
==Uogólnienie tensora absolutnego==
Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e<sub>k<sub>i</sub></sub>:
Linia 213 ⟶ 223:
==Własności tensora metrycznego==
Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać:
{{IndexWzór|<MATH>V_{\alphai}=g_{\alpha\muik} V^{\muk}\;\;</MATH>|2.71}}
Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie {{linkWzór|2.71}} wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu:
{{IndexWzór|<MATH>V_{\alphai;\betaj}=g_{\alpha\muik;\betaj}V^{\muk}+g_{\alpha\muik}{V^{\muk}}_{;\betaj}\;\;</MATH>|2.72}}
Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku &mu;, przy operacjach na wskaźnikach:
{{IndexWzór|<MATH>g_{\alpha\muik}{V^{\muk}}_{;\betaj}=V_{\alphai;\betaj}\;\;</MATH>|2.73}}
Równość {{LinkWzór|2.72}} do której zastosujemy tożsamość tensorową {{linkWzór|2.73}}, którą zapisujemy z własności tensora metrycznego:
{{IndexWzór|<MATH>V_{\alphai;\betaj}=g_{\alpha\muik;\betaj}V^{\muk}+V_{\alphai;\betaj}\;\;</MATH>|2.74}}
Patrząc na wzór {{linkWzór|2.74}} i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości:
{{IndexWzór|<MATH>g_{\alpha\muik;\betaj}=0\;\;</MATH>|2.75}}
 
==Wyznaczanie symboli Christoffela==
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_tensorowy”