Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 447:
a zarazem zachodzi j=l, co później udowodnimy intuicyjnie.
Aby udowodnić równanie własne {{LinkWzór|30.49}}, musimy wiedzieć, że: {{Formuła|<MATH>[\hat{l},\hat{S}]=0</MATH>}}, co jest trywialnym dowodem, ze względu, że współrzędne operatora momentu pędu spinowego są macierzami, współrzędne operatora momentu pędu orbitalnego są operatorami, coś w rodzaju różniczkowania, dlatego te operatory są przemienne, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wykorzystując przy tym, że operator całkowitego momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem {{LinkWzór|30.10}}:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}^2(\hat{l}Y_{lm})=(\hat{l}+\hat{S})^2(\hat{l}Y_{lm})=\hat{l}^2(\hat{l}Y_{lm})+\hat{S}^2(\hat{l}Y_{lm})+2\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lm})=(l(l+1)\hbar^2+S(S+1)\hbar^2)(\hat{l}Y_{lm})+2\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.50}}
Obliczmy wyrażenie pomocnicze: {{Formuła|<MATH>\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{jm})</MATH>}}, występujące w dowodzie {{LinkWzór|30.50}}, by dalej przeprowadzić ten nas powyższy dowód:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lm})=\left(\hat{l}_x\hat{S}_x+\hat{l}_y\hat{S}_y+\hat{l}_z\hat{S}_z\right)(\hat{l}Y_{lm})=\hbar\left[\hat{l}_x\begin{pmatrix}
| |||