Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 22:
*gdzie kąt φ jest to ten sam kąt napisaną w przestawieniu trygonometrycznym we wzorze {{LinkWzór|8.2}}.
Aby wyznaczyć równoważność między oba przestawieniami liczby zespolonej, tzn. między {{linkWzór|8.2}} i {{LinkWzór|8.4}} należy wyznaczyć wyrażenie poniżej, korzystając przestawienia funkcji kosinus i sinus w jego przedstawieniu według Taylora, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\cos\phi+i\sin\phi=\left(1-{{\phi^2}\over{2!}}+{{\phi^4}\over{4!}}-...\right)+i\left(\phi-{{\phi^3}\over{3!}}+{{\phi^5}\over{5!}}+...\right)
1+i\phi-{{\phi^2}\over{2!}}-i{{\phi^3}\over{3!}}+{{\phi^4}\over{4!}}+i{{\phi^5}\over{5!}}+...=\;</MATH><BR><MATH>=1+(i\phi)+{{(i\phi)^2}\over{2!}}+{{(i\phi)^3}\over{3!}}+{{(i\phi)^4}\over{4!}}+{{(i\phi)^5}\over{5!}}+...=e^{i\phi}\;</MATH>|8.5}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.5}} wykazaliśmy równoważność wzorów {{LinkWzór|8.4}} i {{LinkWzór|8.2}}.
Linia 32:
{{IndexWzór|<MATH>df={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\left(dx+idy\right)+{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\left(dx-idy\right)\;</MATH>|8.7}}
Aby przeprowadzić równoważność pomiędzy przestawieniami tej samej różniczki df, czyli wzorów {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}} przy pomocy rozpisywania jej na części rzeczywistą i urojonej, co wynika z przestawienia liczby zespolonej {{LinkWzór|8.1}}.
{{IndexWzór|<MATH>df=\left\{{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]+{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\right\}dx+i\left\{{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]-{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\right\}dy
={{\partial f}\over{\partial x}}dx+{{\partial f}\over{\partial y}}dy</MATH>|8.8}}
Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.8}} równoważność wzorów {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}}, co było nam do udowodnienia.
Linia 43:
Wprowadzając oznaczenia {{linkWzór|8.9}} i {{LinkWzór|8.10}} do wzoru {{LinkWzór|8.7}}, wtedy on przechodzi w:
{{IndexWzór|<MATH>df={{\partial f}\over{\partial z}}dz+{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}d\overline{z}\;</MATH>|8.11}}
'''Funkcją holomorficzną ''' nazywamy funkcję, który jest pochodną funkcji f względem {{Formuła|<MATH>\overline{z}\;</MATH>}}, czyli wyrażenie {{LinkWzór|8.10}} jest równe zero. Przestawmy funkcję zespoloną f(z) w postaci zespolonej przy pomocy funkcji u(x,y), która jest częścią rzeczywistą wspomnianej funkcji zespolonej, a także funkcji v(x,y), która jest częścią urojoną funkcji zespolonej, zatem tą naszą funkcję przestawiamy na podstawie {{LinkWzór|8.1}} w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\;</MATH>|8.12}}
Pochodną cząstkową {{LinkWzór|8.10}} piszemy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|8.12}} wedle sposobu:
Linia 65:
Jest to formuła dla funkcji napisanych w przestrzeni zespolonej, która jest pewną całką zapisaną w przestrzeni zespolonej, którego schemat:
{{IndexWzór|<MATH>f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint {{f(t)}\over{t-z}}dt\;</MATH>|8.19}}
Całkowanie występujące we wzorze {{LinkWzór|8.19}} możemy tak przekształcić, by po dokonaniu do niego podstawienia {{Formuła|<MATH>
{{IndexWzór|<MATH>\oint{{f(t)}\over{t-z}}dt=\oint{{f(t+re^{i\phi})}\over{re^{i\phi}}}ire^{i\phi}d\phi=i\oint f(z+re^{\phi})d\phi\;</MATH>|8.20}}
Możemy wybrać takie całkowanie wokół punktu osobliwego z, by promień okręgu okalająca wspomniany punkt osobliwy by dążył do zera, zatem całkę {{LinkWzór|8.18}} piszemy wedle:
Linia 74:
Szeregiem Laurenta nazywamy szereg określony wzorem poniżej, względem potęg jego dodatnich i ujemnych wraz z potęgą zero, zapisanej za pomocą współczynników a<sub>-n</sub> i b<sub>n</sub>, czyli we wspomnianym wzorze występuje wszelkie potęgi wyrazu (z-z<sub>0</sub>), zatem na tej podstawie nasz szereg:
{{IndexWzór|<MATH>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\;</MATH>|8.22}}
Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z<sub>0</sub>, dokonując podstawienia {{Formuła|<MATH>z-z_0=re^{i\phi}\;</MATH>}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\oint(z-z_0)^kdz=\oint r^ke^{ik\phi}ire^{i\phi}d\phi=ir^{k+1}\int_0^{2pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi\;</MATH>|8.23}}
We wzorze {{LinkWzór|8.23}}, gdy k=-1, wtedy wspomniany wzór jest równy 2πi;, ale gdy k≠-1, wtedy wspomniany wcześniej wzór jest równoważny całce:
{{IndexWzór|<MATH>ir^{k+1}\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}e^{i(k+1)\phi}\Bigg|_0^{2\pi}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|8.24}} i dla k=-1 dochodzimy do wniosku, że dla poszczególnych k, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\oint_C(z-z_0)^kdz=\begin{cases}
Linia 84:
\end{cases}\;</MATH>|8.25}}
Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników a<sub>-n</sub> i b<sub>n</sub>, zatem wyznaczmy teraz ten pierwszy czynnik, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równe zero, tzn. oprócz s=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, zatem końcowa całka jest już poznana, bo ona omawiana była w punkcie {{LinkWzór|8.17}}:
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint(z-z_0)^{n-1}f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint(z-z_0)^{n-1}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)=
{{1}\over{2\pi i}}a_{-n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz={{1}\over{2\pi i}}a_{-n}2\pi i=a_{-n}\;</MATH>|8.26}}
Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników b<sub>n</sub>, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równa zero, tzn. oprócz l=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, to końcowa całka jest już znana, bo ona omawiana była w punkcie {{LinkWzór|8.19}}, wtedy możemy napisać:
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint{{f(z)}\over{(z-z_0)^{m+1}}}={{1}\over{2\pi i}}\oint{{1}\over{(z-z_0)^{m+1}}}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)=
{{1}\over{2\pi i}}b_{n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz={{1}\over{2\pi i}}b_{n}2\pi i=b_{n}\;</MATH>|8.27}}
Na podstawie końcowych obliczeń współczynniki szeregu Laurenta {{LinkWzór|8.22}} w przeprowadzonych obliczeniach, w celu ich wyznaczenia w punktach {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}, są równe:
Linia 110:
==Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych==
Niech mamy dwa wektory określone jako pochodne wektorów wodzących w kartezjańskim układzie współrzędnym, które określamy jako pochodną cząstkową z tych wektorów względem pewnych parametrów charakteryzujących te nasze omawiane wektory.
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec{T}_1={{\partial\vec{r}_1}\over{\partial s_1}}\;</MATH>|8.34}}|2={{IndexWzór|<MATH>\vec{T}_2={{\partial\vec{r}_2}\over{\partial s_2}}\;</MATH>|8.35}}}}▼
Kat między wektorami {{LinkWzór|8.34}} a {{LinkWzór|8.35}} określamy ze wzoru na iloczyn skalarny, zatem znając długości wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{T}_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{T}_2\;</MATH>}} i ich iloczyn skalarny, to możemy policzyć kosinus kąta pomiędzy naszymi omawianymi wektorami.▼
▲|{{IndexWzór|<MATH>\vec{T}_1={{\partial\vec{r}_1}\over{\partial s_1}}\;</MATH>|8.34}}
▲Kat między wektorami {{LinkWzór|8.34}} a {{LinkWzór|8.35}} określamy ze wzoru na iloczyn skalarny, zatem znając długości wektorów <MATH>\vec{T}_1\;</MATH>,<MATH>\vec{T}_2\;</MATH> i ich iloczyn skalarny, to możemy policzyć kosinus kąta pomiędzy naszymi omawianymi wektorami.
{{IndexWzór|<MATH>\cos\alpha={{(\vec{T}_1,\vec{T}_2)}\over{||\vec{T}_1|| ||\vec{T}_2||}}\;</MATH>|8.36}}
Określmy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji {{LinkWzór|8.16}} względem zmiennych x i y, zatem tą macierz określamy wedle sposobu poniżej, przekształcimy tą macierz z warunku na holomorficzność funkcji {{LinkWzór|8.12}}, czyli ze wzoru określająca tą właściwość funkcji, tj. {{linkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}.
Linia 123 ⟶ 120:
{{\partial u}\over{\partial x}}&{{\partial u}\over{\partial y}}\\
-{{\partial u}\over{\partial y}}&{{\partial u}\over{\partial x}}\end{bmatrix}\;</MATH>|8.37}}
Okreslmy teraz wektor {{Formuła|<MATH>\vec{Y}\;</MATH>}} w nowych zmiennych (u, v) określany podobnie jak w punkcie dla wektora {{Formuła|<MATH>\vec {r}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2\;</MATH>}}, czyli przy pomocy {{LinkWzór|8.34}} i {{LinkWzór|8.35}}:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{Y}={{d\vec{w}}\over{\partial s}}={{\partial(u,v)}\over{\partial (x,y)}}{{d(x,y)}\over{ds}}=F^'\vec{T}\;</MATH>|8.38}}
Kąt pomiędzy dwoma różnymi wektorami {{linkWzór|8.38}} wyznaczamy z definicji iloczynu skalarnego dla przestrzeni euklidesowej przestawionej w postaci macierzowej znanej z algebry, zatem jak się przekonamy, że porównując kąty pomiędzy wektorami określanymi według wzoru {{LinkWzór|8.36}}, a kątem pomiędzy wektorami {{LinkWzór|8.34}} i {{LinkWzór|8.35}}, to jak się przekonamy są kątami sobie równymi.
| |||