Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

==Równanie Eulera-Lagrange'a==

Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y_o i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y₀ niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y_o+δy Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie δy(a)=δy(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę {{linkWzór|17.1}}, zatem wariacje δy' i δy są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y^'(x)| i |y₀(x)|, co matematycznie piszemy je dla x∈(a,b) równaniami:

Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych δy i δy' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:

{{IndexWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}}