Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 31:
Wyprowadźmy wzór {{LinkWzór|26.10}} ze wzoru na energię potencjalną układu {{LinkWzór|26.9}}, oraz pamiętając, że kulki są połączone ze sobą siłami sprężystości, z definicji siły potencjalnej poprzez energię potencjalną sprężynek, korzystając przy tym z pochodnej cząstkowej tej energii względem położenia danej kulki i to wyrażenie wzięte z minusem, otrzymujemy wzór na siłę potencjalną działająca na daną kulkę w zależności od położeń danych kulek towarzyszących tej kulce jako najbliżsi przyjaciele:
{{IndexWzór|<MATH>F_i=-k{{\Delta_i E_p}\over{\partial \phi}}={{1}\over{2}}{{\Delta_i}\over{\partial \phi}}\sum^{n}_{i=1}k(\phi_{i+1}-\phi_{i})^2=-{{1}\over{2}}k
{{\partial}\over{\partial \phi_i}}[(\phi_2-\phi_1)^2+...+(\phi_{i}-\phi_{i-1})^2+...+(\phi_{i+1}-\phi_{i})^2+\;</MATH><BR><MATH>+..+(\phi_{n+1}-\phi_{n})]=-{{1}\
k(\phi_{i+1}+\phi_{i-1}-2\phi_i)=ka^2{{{{\phi_{i+1}-\phi_i}\over{a}}-{{\phi_i-\phi_{i-1}}\over{a}}}\over{a}}\;</MATH>|26.11}}
Co kończy powyższy dowód {{LinkWzór|26.10}}.
Linia 87 ⟶ 86:
W sposób ostateczny podstawiając {{LinkWzór|26.28}} (pochodna względem funkcji falowej gęstości Lagrangianu) i {{LinkWzór|26.29}} (drugich pochodnych względem współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych) do wzoru wariacyjnego {{LinkWzór|26.21}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hbar^2}\over{2m_0}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right)+{{1}\over{2}}m_0c^2\psi=0\Rightarrow {{\hbar^2}\over{2m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right]=-{{1}\over{2}}m_0c^2\psi\Rightarrow
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow\left(\nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}\right)\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi</MATH>|26.30}}
lub łatwiej korzystając z definicji operatora d'Alemberta {{LinkWzór|24.7|Mechanika kwantowa/Relatywistyczna_teoria_kwantów_Kleina-Gordona}}:
{{IndexWzór|<MATH>\square\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>|26.31|Obramuj}}
Linia 150 ⟶ 149:
Ale jeśli na równość różniczkową {{LinkWzór|26.54a}} podziałamy operatorem odwrotnym do {{Formuła|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH>}} to otrzymamy równanie Diraca {{LinkWzór|26.42}}, wtedy równania Diraca zawierają sobie zbiór rozwiązań równania Klieina-Gordona. Zatem na podstawie poprzednich rozważań dostajemy, że rozwiązania w obu teoriach są takie same.
Wyznaczmy kwadrat operatora {{LinkWzór|26.38}} występujących w równaniu {{LinkWzór|26.54}}, korzystając przy tym z definicji operatora {{LinkWzór|26.38}} poprzez {{LinkWzór|26.19}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2=\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\right)\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)=\hat \beta^2\left({{\partial}\over{\partial ct}}\right)^2+\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}\hat \beta\hat\alpha_k\nabla_k+\;</MATH><BR><MATH>+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\overset{\rightarrow}{\partial}^2=-\square\;</MAth>|26.55}}
Równanie {{LinkWzór|26.54}}, na podstawie {{LinkWzór|26.55}} otrzymanej tożsamości na operatorach różniczkowania według konwencji Eulera-Lagrange, przyjmuje postać:
| |||