Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Rekurencja i indukcja matematyczna: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 73:
: <math> S_{k+1} = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6} k} + 1 = k + 1 </math>.
Czyli do zbioru dla którego nasze twierdzenie jest prawdziwe <math> \{1, 2, ..., k\} </math> możemy wepchać następną liczbę, czyli ''k+1''. I tak dokładając ''2'', ''3'', ''4'' i następne liczby dochodzimy aż do '''100'''. Zatem udowodniliśmy to twierdzenie. Już jesteśmy pewni, że jeśli dodamy sto jedynek otrzymamy liczbę sto!
Podsumujmy w skrócie, co zrobiliśmy. Otóż wykonaliśmy poniższe kroki:
# Pokazaliśmy, że jest prawdziwe dla 1.
# Założyliśmy, że w takim razie będzie prawdziwe dla 1, 2, 3, ..., k.
# Pokazaliśmy, że skoro jest prawdziwe od 1 do k, więc musi być także prawdziwe dla k + 1.
# Stwierdziliśmy, że musi być prawdziwe dla wszystkich ''n'', czyli także 100.
Teraz udowodnijmy, że <math> 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} </math>.
: Najpierw musimy sprawdzić '''dla n=1''':
:: <math> L = 1 </math>, ponieważ dodaliśmy tylko jedną liczbę -- 1.
:: <math> P = \frac{1\cdot(1+1)}{2} = 1 </math>.
:: Zgadza się, <math> L = P </math>.
Czyli teraz możemy stworzyć odpowiednie założenie.
: '''Założenie indukcyjne dla n = k:'''
:: <math> {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}} </math>.
I pokażemy, że skoro dla k jest prawdziwe to będzie także dla <math> k + 1 </math>, ale najpierw postawmy tę tezę.
: '''Teza indukcyjna:'''
:: <math> 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k+1)[(k+1) + 1]}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} </math>
No i w końcu przedstawimy dowód.
: '''Dowód tezy indukcyjnej:'''
:: <math> L = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}1 + 2 + 3 + \dots + k} + (k+1) = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}\frac{k(k+1)}{2}} + (k+1) </math>
:: <math> = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+2)(k+1)}{2} </math>
:: <math> P = \frac{(k+1)(k+2)}{2} </math>
: Czyli <math>L = P</math>.
Ponieważ stwierdziliśmy, że wzór jest prawdziwy dla <math>n=1</math>, a także z prawdziwości wzoru dla <math> n = k </math> wynika prawdziwość wzoru dla <math> n = k + 1 </math>, więc dzięki zasadzi indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego całkowitego <math>n \geq 1</math>.
| |||