Wersja z 20:02, 6 sie 2006 edytuj Piotr (dyskusja \| edycje) 6422 edycje m Matematyka dla liceum:Kwantyfikatory przeniesiono do Matematyka dla liceum:Logika:Kwantyfikatory ← poprzednia edycja		Wersja z 12:59, 7 sie 2006 edytuj anuluj edycję Piotr (dyskusja \| edycje) 6422 edycje Nie podano opisu zmian następna edycja →
Linia 6: == Kwantyfikatory == {{index\|kwantyfikator}} Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0”{{math\|0}}” możemy zapisać krócej <math> \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x^2 \geq 0 </math>. Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”{{math\|0}}”, możemy zapisać <math> \forall_{n \in \mathbb{Z_+}}\ n^3 > 0 </math> (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez <math> \mathbb{Z_+}). </math>. Zdanie to przeczytamy „dla każdego ''{{math\|x''}} należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”{{math\|0}}”. Podamy teraz formalną definicję. {{index\|kwantyfikator ogólny}} {{Mat:Def\|1= '''Kwantyfikator ogólny''' oznaczamy przez <math> \forall_x </math>, mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego ''{{math\|x''}}. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem dużym''' lub '''kwantyfikatorem uniwersalnym'''.}} Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszyskich psów oznaczymy przez {{math\|ZP}}, a liczbę łap psa {{math\|p}} oznaczymy przez <math> \zeta(p) </math>, wówczas możemy napisać: Czasamy dane zdanie niespełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: <math>\exists_{x \in \mathbb{R}}\ x^2=0 </math>. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba ''x'' należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako <math> \exist )</math> nazywany jest '''kwantyfikatorem szczegółowym'''. ▼ : <math> \forall_{p \in \mathbb{ZP}}\ \zeta(p) = 4 </math>. Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa {{math\|p}} należącego do zbioru wszystkich psów {{math\|ZP}} liczba łap <math> \zeta(p) </math> wynosi {{math\|4}}” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”. ▲Czasamy dane zdanie niespełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi {{math\|0}}. Jest to tylko jedna liczba -- samo {{math\|0}}. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0”{{math\|0}}” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: <math>\exists_{x \in \mathbb{R}}\ x^2=0 </math>. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba ''{{math\|x''}} należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”{{math\|0}}”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako <math> \exist )</math> nazywany jest '''kwantyfikatorem szczegółowym'''. {{index\|kwantyfikator szczegółowy}} Linia 23 ⟶ 27: * Istnieje liczba rzeczywista większa od 0. A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako {{math\|L}} i zdanie {{math\|q(l)}}, jako zdanie mówiące, że człowiek {{math\|l}} umie liczyć. Teraz możemy napisać: {{index\|kwantyfikator dawne polskie oznaczenia}}▼ : <math> \exist_{l \in L}\ q(l) </math>, co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element {{math\|l}} należący do zbioru {{math\|L}}, że zdanie {{math\|q(l)}}, jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek {{math\|l}} należący do zbioru wszystkich ludzi {{math\|L}}, że człowiek ten umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”. ▲{{index\|kwantyfikator ~~dawne polskie~~inne oznaczenia}} {{Mat:Ciek\| '''Kwantyfikator ogólny''' czasami w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez <math> \bigwedge_x </math>(„dla każdego ''x''...”), a '''kwantyfikator szczegółowy''' przez <math> \bigvee_x </math>(„istnieje takie ''x'', że...”). Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. <math>\forall</math> pochodzi od '''A'''ll (wszystkie), <math>\exist</math> od '''E'''xists (istnieje). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek.}} <noinclude>

Matematyka dla liceum/Logika/Kwantyfikatory: Różnice pomiędzy wersjami