Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać iloczynowa: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
m kat. |
Dowód |
||
Linia 18:
{{center|<math>y=a(x-x_0)^2</math>}}
3. Jeżeli <math> \Delta~< 0</math>, to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.}}
''' Dowód '''
Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:
<math> a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0</math>
Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.
<math> a[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2}] = 0</math>
Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:
<math> a[(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2] = 0</math>
I stosujemy wzór <math>a^2-b^2</math> = (a-b)(a+b)
<math> a[(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})</math>
<math> a[(x+\frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}) (x+\frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a})]</math>
<math> a[(x+\frac{-(-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) (x+\frac{-(-b - \sqrt{\Delta}}{2a})]</math>
<math> a(x-\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) (x-\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a})</math>
Gdy <math>\Delta < 0</math> to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.
''' Koniec dowodu '''
Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:
| |||