Wstęp do fizyki jądra atomowego/Najważniejsze parametry jądra atomowego: Różnice pomiędzy wersjami

{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}=2(Q_{zz}-Q_{xx})=\sum_{i=1}^Ze_i(2z_i^2-2x_i^2)=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-(x_i^2+y_i^2+z_i^2))=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-r_i^2)\;</MATH>|2.4}}

Dla ciągłych rozkładów ładunków dla przypadków osiowosymetrycznych człon monopolowy i dipolowy (który jest zawsze równy zero dla naszego przypadku) przestawiamy:

Człon kwadrupolowy przestawiamy jako odpowiednik dla przypadku dyskretnego {{LinkWzór|2.4}}, czyli jej postać ciągła powstaje po zastąpieniu ładunku e<Sub>i</SUB> przez iloczyn gęstości ładunku w danym punkcie i nieskończenie małej objętości, a sumowanie całką po całej objętości jądra, w której zawarty jest ten ładunek, przedstawiamy:

{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}=\int_V\rho_e(\vec{r})(3z^2-r^2)dV=\int_V\rho_e(r) r^2(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{5}}\int_V\rho_e(r)r^2\sqrt{{{5}\over{16\pi}}}(3\cos^2\phi-1)dV=\;</MATH><BR><MATH>=\sqrt{{16\pi}\over{2\cdot 2+1}}\int_V\rho(r)r^2Y_{20}dV\;</MATH>|2.6}}

{{IndexGrafika|Elipsoida obrotowa.png|eo|Elipsoida obrotowa}}

Mając parametr deformacji &beta;₂ oraz R₀ obliczmy moment kwadrupolowy Q₂₀ jądra o kształcie elipsoidy obrotowej o ładunku Ze, mając na uwadze jądro o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego &rho;(r)=&rho;₀:

Moment elektryczny kwadrupolowy przedstawiamy w zależności od &beta;<SUB>2</sub>, a na samym końcu od półosi "a" i "b" elipsoidy obrotowej:

{{IndexWzór|<MATH>Q_{20}={{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze\beta_2\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}\beta_2\right)=

{{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+3j\right)-jg_s\right]={{j}\over{j+1}}\mu_N\left[\left(j+{{3}\over{2}}\right)g_l-{{1}\over{2}}g_s\right]</MATH>|2.41}}

Biorąc kolejno współczynniki współczynniki giromagnetyczne podane powyżej w tabelce, to momenty magnetyczne możemy je policzyć dla protonu kolejno dla {{Formuła|<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, ale w jednostkach &mu;_N:

A także policzmy momenty magnetyczne dla neutronów dla przypadków I=l+1/2 i I=l-/12 kolejno, ale w tych samych jednostkach co poprzednio:

 

==Funkcja gęstości materii jądrowej==

{{IndexWzór|<MATH>\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i\;</MATH>|2.56}}

W mechanice kwantowej operator momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{I}}=(\hat{I}_x,\hat{I}_y,\hat{I}_z)\;</MATH>}} definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych:

Funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{I}^2\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne:

*Dla jądra atomowego liczbę kwantową I=M^max nazywamy spinem jądra.

Operatory hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu.

{{IndexWzór|<MATH>\rho(r)=\begin{cases}\rho_0&\mbox{ gdy }r\leq R\\0&\mbox{ gdy }r>R\end{cases}\;</MATH>|2.69}}

Z ruchem nukleonów w jądrze należy powiązać pewne prądy elektryczne, które wytwarzają odpowiednio pole elektryczne i magnetyczne. Oddziaływaniem tychże pól z innymi polami np. ładunkami i prądami, np. z elektronami w atomach prowadzi do tzn. struktury nadsubtelnej w widmie optycznym, gdzie tam postępuje się z zasadami elektrodynamiki klasycznej rozkładając te pola w szeregi multipolowe mając kolejno wyrazy {{Formuła|<MATH>\sim 1/R^n\;</MATH>}}, gdzie n = 1, 2, 3,..., które są określone przez momenty elektryczne lub magnetyczne. W praktyce uwzględnia się momenty najniższych rzędów, tzn. dla momentów elektrycznych rzędu &lambda; = 0, 2, 4, (6), a w przypadku oddziaływania magnetycznego momenty rzędu &lambda;=1. Pozostałe momenty magnetyczne szybko maleją ze wzrostem &lambda;, więc ich się nie uwzględnia. Należy pamiętać, że te momenty multipolowe piszemy przy rozkładzie przestrzennym ładunku &rho;(r,&theta;,&phi;) {{linkWzór|2.68}}.