Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami

Jest to równanie stacjonarne wyprowadzone z niezależnego od czasu równania falowego Schrödingera i idąc dalej

wprowadzimy nowe parametry i zmienne, dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, w celu uproszczenia obliczeń do wyznaczenia wartości i funkcji własnej naszego przekształconego równania {{LinkWzór|17.3}}, wtedy te oznaczenia:

Przy powyższym oznaczeniu nowej zmiennej {{LinkWzór|17.5}} równanie {{LinkWzór|17.3}} w tychże zmiennych jest:

{{IndexWzór|<MATH>\alpha^2{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^4x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\Rightarrow

{{IndexWzór|<MATH>\psi=e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.10}}

który udowodnimy poniżej rozpisując pierwszą i drugą pochodną, które podstawimy później do równania różniczkowego asymptotytycznego {{LinkWzór|17.9}}:

Drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|17.10}} zależnego tylko od zmiennej rzeczywistej {{Formuła|<MaTh>\xi\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|17.12}} i {{LinkWzór|17.10}}, podstawiamy do równania różniczkowego asymptotycznego {{LinkWzór|17.9}}, dostajemy niezerowe tożsamościowo wyrażenie, pamiętając o wyborze znaku minus, która dla &xi; nieskończonego, dąży do zera, co opiszemy z komentarzami poniżej, nasze wyrażenie możemy napisać:

{{IndexWzór|<MAtH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.13}}

{{IndexWzór|<MATH>\nu=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k\;</math>|17.22}}

A jego dwie kolejne pochodne licząc je po kolei, tzn. pierwszą i drugą pochodną funkcji {{LinkWzór|17.22}}, co tą ostatnia jest pochodną pierwszej pochodnej, piszemy w postaci:

Pochodne zmiennej aplitudowej pierwsze i drugie i samą funkcję podstawiamy do wzoru różniczkowego {{LinkWzór|17.21}} dostając następne wyrażenie:

{{IndexWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\xi\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;</MATH>|17.25}}

Widzimy, że powyższe równanie jest równaniem różniczkowym radialnym, który pozwala wyznaczyć R(r) względem zmiennej radialnej r, który z kolei zależy od liczby kwantowej momentu pędu l.

Wprowadźmy do równania {{LinkWzór|17.44}} nowe oznaczenia zastępujące pewne stałe w omawianym równaniu wiążące pewne stałe i parametry:

Równanie {{LinkWzór|17.44}} na podstawie nowych parametrów {{LinkWzór|17.45}} i {{LinkWzór|17.46}} przyjmuje bardziej prostą postać:

{{IndexWzór|<MATH>{{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;</MATH>|17.47}}

{{IndexWzór|<MATH>x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{1}\over{2}}+1-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;</MATH>|17.62}}

Obierzmy w równaniu {{LinkWzór|17.62}} definicję nowych pomocnych parametrów, które jak się przekonamy będą dla nas bardzo potrzebne:

|}

Oraz policzmy na podstawie {{LinkWzór|17.63}} i {{LinkWzór|17.64}} podane wyrażenie, które jak się przekonamy występuje w {{LinkWzór|17.62}} jako różnica zmiennych b {{LinkWzór|17.64}} i a {{LinkWzór|17.63}}:

{{IndexWzór|<MATH>E=\left(2n+l-{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;</MATH>|17.71}}

Ponieważ, nic nie zakładaliśmy co do wartości n i l w rozwiązaniach równania radialnego kwantowego oscylatora harmonicznego w {{LinkWzór|17.47}} i tożsamości początkowej {{LinkWzór|17.67}}, to one mogą przebiegać niezależnie, według schematu:

Policzmy więc stopień degeneracji poziomu energii własnych oscylatora harmonicznego, w tym celu przedstawmy {{LinkWzór|17.71}} troszeczkę w innej postaci wprowadzając całkowitą liczbę kwantową N:

{{IndexWzór|<MATH>E_N=\hbar\omega\left\{N+{{3}\over {2}}\right\}\;</MATH>|17.74}}

{{IndexWzór|<MATH>\Delta E={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right)={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right)\;</MATH>|17.86}}

Ponieważ całkowita liczba kwantowa "j" jest kwantową połówkową liczbą kwantową, która może się mieścić się pomiędzy liczbami połówkowymi, określonych przez orbitalne liczby kwantowe "l" przyjmujących wartości całkowite nieujemne, co wynika z dodawania orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowej połówkowej spinowej liczby kwantowej równej {{Formuła|<Math>{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, jeśli cząstka posiada spin własny.

Znajdziemy poprawkę do energii {{LinkWzór|17.86}} uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia {{LinkWzór|17.87}}:

{{IndexWzór|<MATH>(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l+{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{3}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]=

{{IndexWzór|<MATH>(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}-(\Delta E)_{l-{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}(l+l+1)={{D}\over{2}}(2l+1)\;</MATH>|17.91}}

W wyrażeniu {{LinkWzór|17.91}} widzimy, że po uwzględnieniu spinu cząstki rozszczepienie jest niezerowe.