Wikibooks

Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 55:
==Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej==
Prowadźmy oznaczenia jako konwencja Eulera-Lagrange dla operatorów różniczkowania w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) kowariantnych i kontrkowariantnych przedstawiając ich pełne znaczenie rozpisując je w sposób pełny, co oznaczając przy czym je literami greckimi numerowanych od zero do trzech, a numerowanie literami łacińskimi jest to numerowanie od jeden do trzech, czyli bez współrzędnej czasowej (zerowej), w postaci:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}={{\partial}\over{\partial x^{\mu}}}=\left(\partial_0,\partial_k\right)=\left({{\partial}\over{\partial ct}},{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|26.19}}|2={{IndexWzór|<MATH>\partial^{\mu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}={{\partial}\over{\partial x_{\mu}}}=\left(\partial_0,-\partial_k\right)=\left({{\partial}\over{\partial ct}},-{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|26.20}}}}
Udowodnijmy, że na podstawie definicji operatora sprzężonego po hermitowsku, dla operatorów zdefiniowanych według {{LinkWzór|26.19}} lub {{LinkWzór|26.20}}, tylko że kierunek różniczkowania określa strzałka u góry tychże operatorów, zachodzi tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{{\partial}}^+=-\overset{\leftarrow}{{\partial}}\;</MATH>|26.21}}
Linia 78:
 
Można udowodnić na podstawie definicji Lagrangianu {{LinkWzór|26.25}}, że zachodzi dla pierwszego wyrazu we wzorze Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23}}, pisząc pochodną gęstości lagrangianu względem czasu, a później względem współrzędnych przestrzennych:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_0\psi)}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial ct}}\right)}}={{\hbar^2}\over{m_0}}\partial_0\psi\;</MATH>|26.26}}|2={{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_k\psi)}}={{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial x_k}}\right)}}=-{{\hbar^2}\over{m_0}}\partial_k\psi\;</MATH>|26.27}}}}
Obliczamy ostatni wyraz występujący w równaniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23}}, który jest pochodną gęstości Lagrangianu względem funkcji falowej.
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-m_0c^2\psi\;</MATH>|26.28}}
Linia 107:
{{IndexWzór|<Math>\left(i\hbar c\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m_0c^2\right)\psi=0\;</MATH>|26.37}}
W kwantowej mechanice relatywistycznej Diraca przyjmujemy definicje oparte na tensorach czterowektorów pochodnych kowariantnych {{LinkWzór|26.19}} i kontrkowariantnych {{LinkWzór|26.20}} oraz zdefiniujemy nową funkcję {{Formuła|<MATH>\overline{\psi}\;</math>}}, których definicję poznamy poniżej:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>{\overset{\rightarrow}{{\not{\partial}}}}=\gamma^{\mu}\overset{\rightarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.38}}|2={{IndexWzór|<MATH>{\overset{\leftarrow}{{\not{\partial}}}}=\gamma^{\mu}\overset{\leftarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.39}}|3={{IndexWzór|<MATH>\overset{\leftrightarrow}{\not{\partial}}=\gamma^{\mu}\overset{\leftrightarrow}{\partial}_{\mu}\;</MATH>|26.40}}|4={{IndexWzór|<MATH>\overline{\psi}=\psi^{+}\gamma^0=\psi^{+}\hat{\beta}\;</MATH>|26.41}}}}
Równanie {{LinkWzór|26.37}} dzielimy obustronnie przez wyrażenie urojone {{Formuła|<maTh>i\hbar\;</MATH>}}, dostajemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)\psi=0\Rightarrow\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}+i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)\psi=0\;</MATH>|26.42|Obramuj}}
Linia 118:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{i\hbar c}\over{2}}\overline{\psi}\gamma^{\mu}(\overset{\rightarrow}{\partial_{\mu}}\psi)-{{i\hbar c}\over{2}}(\overline{\psi}\overset{\leftarrow}{\partial_{\mu}})\gamma^{\mu}\psi-m_0c^2\overline{\psi}\psi\;</MATH>|26.45}}
Można policzyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem współrzędnych czasoprzestrzeni czterowymiarowej dla gęstości Lagrangianu napisanego wedle {{LinkWzór|26.45}}, zatem mamy:
{{FlexRowElastycznyWiersz|1={{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_{\mu}\overline{\psi})}}=-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\psi\;</MATH>|26.46}}|2={{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\overline{\psi}}}={{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m_0c^2\psi\;</MATH>|26.47}}}}
Co ostatecznie z równania {{LinkWzór|26.21}} (równanie Eulera-Lagrange) przy pomocy obliczonych już wyrażeń {{LinkWzór|26.46}} i {{LinkWzór|26.47}}, oraz łącząc te dwie pochodne w wspomniane powyżej równania wariacyjnego, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}\left(-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\psi\right)-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi+m_0c^2\psi=0\;</MATH>|26.48}}
Linia 154:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\overset{\rightarrow}{\partial}^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi=0\Rightarrow \square\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;</MATH>}}
Ostatnie równanie jest zgodne z równaniem {{LinkWzór|26.29}}, a więc z równaniem Kliena-Gordona, czyli nasze rozważania co do mechaniki Klieina-Gordona opisujących cząstki o spinie zerowym i co do mechaniki Diraca są poprawne.
<noinclude>{{kreska nawigacja|Mechanika kwantowa{{AktualnaKsiążka}}|Symetria cechowania transformacji ładunkowej{{NastępnyArtykuł}}|Relatywistyczna teoria kwantów Diraca{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange%27a”